유체역학
(Fluid Mechanics)
4장 운동량의 원리
4.1 역적-운동량방정식
4.2 역적-운동량방정식의 응용
4.3 운동량 모멘트의 원리
4장 개요
▪ 운동량 원리는 유체의 압축성이나 점성에 관계없이 모든 유체에 적용
▪ 수리학의 3대방정식 - 연속방정식 · Bernoulli방정식 · 운동량방정식
▪ 배관의 곡면에 미치는 힘과 소방노즐의 반발력을 구하는데 사용
ΣF · Δt = Δp
Δp :
운동량의 변화량
Δt :
충격력이 작용하는 시간
ΣF : 충격력(또는 반발력)의 총합
☞ 역적-운동량 방정식
■ 핵심개념 : 운동량에 변화가 생기면 반드시 충격력이 수반된다.
▪ 운동량에 변화가 생기면 반드시 충격력이 수반된다.
▪ 역으로, 유체에 외력이 작용하면 반드시 운동량이 변한다.
v
1f
V
예) 투척기에서 공의 질량 0.5 [kg]인 공을 속도 50 [m/s]로
투척한다
. 투척기의 질량은 60.0 [kg]이다.
투척기에서 공을 투척하는 순간에 투척기의 되튐
속도는
?
4-1 역적-운동량 방정식
▪ 운동량 p = mV (= 질량 × 속도)이다.
☞ 유체는 질량대신 밀도 로 기술한다.
ΣF · Δt = Δp ☞ 역적-운동량 방정식
■ 핵심개념 : 운동량에 변화가 생기면 반드시 충격력이 수반된다.
▪ 운동량에 변화가 생기면 반드시 충격력이 수반된다.
▪ 역으로, 유체에 외력이 작용하면 반드시 운동량이 변한다.
∴ Δp = p2 – p1 = mV2 - mV1 = m(V2 - V1)
► 질량 m 인 유체에 Δt 동안에 외력이 가해져서, 유속이 V
1에서 V2로
변했다고 하자. 외력의 총합을 ΣF 로 표기하자.
☞ 역적-운동량 방정식 ΣF
· Δt = Δp 에서
ρ : 밀도 Q : 유통량( 매초 유통하는 유체의 부피, 단위 : m3/s)
☞ Q(V
2 - V1) 을 운동량유속 이라 한다.
예제
4-2) 40[mm]의 소방호스로 80 lpm
의 물이 흐르고 있다.
노즐 지름이
13[mm]일때 다음을 구하시오
① 노즐에서의 가속도
F ∙ t = m(V
2 – V1 ) → 역적-운동량 방정식
지름
40[mm]의 소방호스의 단면적 A
1 = πr
2
= π(0.02)2 [m2] = 0.00126 [m2]
유량
Q=80 lpm = 0.0013[m3/s]
1 lpm = 1000[cm3]/60[s] = 10-3[m3]/60[s]= 1.67 × 10-5[m3/s]
지름
13[mm]의 노즐의 단면적 A
2 = πr
2
= π(0.0065)2 [m2] = 0.000133 [m2]
V
2 - V1 = 8.985 [m/s]
예제
4-2) 40[mm]의 소방호스로 80 lpm
의 물이
흐르고 있다
. 노즐 지름이 13[mm]일때 다음을
구하시오
② 호스와 노즐팁의 운동에너지
호스에서 운동에너지
; E
1 = V1
2
/2g = 0.057[m]
노즐에서 운동에너지; E
2 = V2
2
/2g = 5.148[m]
③ 노즐의 반발력
F = ma = m(V
2 - V1 ) /t = Q(V2 - V1 )
kg/m3 × 0.0013[m3/s] × 8.985 [m/s]
= 12.004 kg∙m/s2 = 12.004[N]
4-2 역적-운동량 방정식의 응용
ΣF = Q(V
2 – V1)
▪ 역적-운동량 방정식은 관로의 기하학적인 변화로 인해 유체가
관로에 충격을 가하던가 혹은 물제트가 벽에 충격을 가할 때
유체에 작용하는 전체 힘에 대한 방정식이다.
▪ 역적-운동량 방정식은 관로 1과 2에서의 속도와 유량 및 유체밀도를
알면 전체 힘인 ΣF 를 구할 수 있다.
▪ 그런데, 관로의 기하학적인 형태를 알면 ΣF 는 어떤 힘들로 구성되어
있는지를 구할 수 있다.
[1] 단면이 변하는 관에 미치는 힘
그림과 같이 x 축 방향으로 관로1에서 관로2로 유체가 흐른다
.
관로1의 단면적을
A
1, 정압을 p1, 유속을 V1,
관로2
의 단면적을 A
2, 정압을 p2, 유속을 V2 라고 하자.
1
2
p
1
p
2
V
1
V
2
관로1에서 유체에 작용하는 힘은
p
1 A1
관로2에서 유체에 작용하는 힘은
p
2 A2
☞ 경사면에서 유체에 작용하는 힘은
?
F
F
y
F
x
▪ 유체가 관벽에 힘을 가한다.
▪ 관벽도 유체에 반작용의 힘을 가한다.
☞ 관벽이 유체에 작용하는 힘을
F 라 하자.
※ 그림의 흐름에서 유체에 작용하는
y 성분의 힘은 없다.
따라서 유체에 작용하는 힘은 x 성분 뿐이다
.
∴ ΣF =
p
1 A1 – p2 A2 – Fx
1
2
p
1
p
2
V
1
V
2
∴F = Q(V
2 – V1 )공식에서
F
x = Q(V2 – V1 )= p1A1 – p2A2 – Fx
☞
x축 성분의 힘만 존재
∴ F
x = p1A1- p2A2 – Q(V2 – V1 )
☞ 관벽이 유체에 작용하는 x 축 성분의 힘
F
F
y
F
x
예제
4-4) 유량 Q = 0.01 [m3/s]의 물이 흐른다. d
1=100[mm],
d
2=50[mm], p1 = 500[kPa]일 때, 유체가 원추벽에 가하는 힘은
(
단 원추각은 600임) ?
Q = A
1V1
= A
2V2
= 0.01 [m3/s] ☞ 여기서 A
1
= 4A
2
V
∴ 2 = 4V1
☞ V
1
= 1.27 [m/s], V
2 = 5.1 [m/s]
F
x = Q(V2 - V1 )= p1A1 – p2A2 – Fx
☞
F
x = p1A1 – p2A2 – Q(V2 - V1 ) = 2.93 [kN]
∴ F = F
x csc(30
0
) = 5.86[kN]
▪ 베르누이 방정식을 적용하면, p
2 = 487.8[kPa]
여기서
, p
2 = 0
∴ F =
p
1A1 - Q(V2 - V1)
=
p
1A1 – 8QV1 → V2 = 9V1
☞ ∴ v
1 = 4.63[m/s]
∴ F
x = p1A1- p2A2 – Q(V2 – V1 )
객관식
11 ) 그림과 같이 비중이 0.8 인 기름이 노즐에서 분출하고 있
다. 노즐 입구의 계이지 압이 P
1 = 686.5 [kPa]일때 노즐이 받는
힘은 몇
[N]인가 ?
▪ 베르누이 두 방정식을 적용하면,
☞ p
2 = 0, V
2
= 9V
1 , z1 = z2
∴ F =
p
1A1 – 8QV1 = 3482 [N]
4-2 역적-운동량 방정식의 응용
[2] 곡관 벽면에 작용하는 힘
☞ 수평관이 아니어서 x 축과 y 축 방향의 흐름이 있다.
▪ 그림과 같이 수평으로 입사해서
출구 흐름은 각도
β 만큼 굴곡된다.
▪ 따라서 입사시에는 x 성분만 있지만
출구 흐름은
x 와 y 성분이 모두 있다.
▪ 따라서 유체에 작용하는 총힘 F
는
x 성분의 총합력 F
x 와y 성분의 총합력
F
y 를 각각 구해서 벡타합으로 구한다.
F
y QV2 sin= Fy - p2A2 sinW
▪ F = Q(V
2 – V1 )= p1A1 – p2A2 + F
물리량
x 성분
y 성분
비고
p
1A1
p
1A1
0
입력 유체에 작용하는 힘
p
2A2
p
2A2
cosβ
p
2A2 sinβ
출력 유체에 작용하는 힘
V
1
V
1
0
입구 속도
V
2
V
2 cosβ
V
2 sinβ
출구 속도
① x축 성분의 힘 :
F
x Q(V2 cos- V1) = p1A1 - Fx - p2A2
cos
② y축 성분의 힘 :
∴F
x p1A1 - p2A2 cosQ(V2 cos- V1)
∴F
y QV2 sin p2A2 sinW
예제
4-6) 안지름 1 [m]인 900의 벤트속을 평균유속 3[m/s]의
물이 흐른다
. 입구와 출구에 단 압력계에는 모두 100[kPa]
을
가리키고 있다
.
유체가 곡관에 미치는 힘의 크기와 방향을 구하시오
.
(단 중력의 효과는 무시한다
)
①
x축 성분 :
F
x = p1A1 - p2A2 cosQ(V2 cos- V1)
②
y축 성분 :
F
y = p2A2 sinQV2 sin
☞ A
1 = A2 = (0.5[m])
2
=
0.785[m2],
F
x
F
y
F
☞ Q = A
1V1 = A2V2 = 2.36[m
3
/s]
①
x축 성분 :
F
x = p1A1 - p2A2 cosQ(V2 cos- V1)
②
y축 성분 :
F
y = p2A2 sinQV2 sin
900 ∴ sin =1, cos= 0.
∴F
x = p1A1 + QV1 , Fy = p2A2 +QV2
∴F
x = 100[kPa] × 0.785[m
2
]
+1000[kg/m3]×2.36[m3/s]×3[m/s]
= 85.6[kN]
∴F
y = 100[kPa] × 0.785[m
2
]
+ 1000 [kg/m3] × 2.36[m3/s] × 3[m/s]
= 85.6[kN]
F
x
F
y
F
예제
4-3) 굴곡이 900인 관에서 100 lpm
의 유량이
흐르고 있다
. 관의 지름이 4[in]
일 때 다음을 구하시오.
① 굴곡부에서 가속도
②
점1과2에서 운동량의 변화량
∴ V = V
2 - V1 = V2y - V1x
-V
1x
V
1x
V
2y
V
▪ F = Q(V
2 – V1 )= p1A1 – p2A2 + F
물리량
x 성분
y 성분
V
1
V
1x
0
V
2
0
V
2y
① 유량 Q = 100 lpm = 1.67 × 10-3[m3/s]
단면적 A = 8 × 10-3[m2/s]
∴ V
1 = Q/A = 0.21 [m/s], V2 = Q/A = - 0.21[m/s]
∴ V = V
2 -V1 = – 0.21 j – 0.21 i (i는 x 축 성분, j는 y축 성분을 나타낸다)
∴ V
의 크기는 ((-0.21)2 + (-0.21)2)1/2 [m/s] = 0.30[m/s]
∴ 시간당 가속도의 크기는
0.30
[m/s2]
예제
4-3) 굴곡이 900인 관에서 100 lpm
의 유량이
흐르고 있다
. 관의 지름이 4[in]
일 때 다음을 구하시오.
① 굴곡부에서 가속도
②
점1과2에서 운동량의 변화량
매초 운동량의 변화량
= Q(V
2 - V1 )
∴ 운동량의 변화량의 크기는
0.49 [N]
= 3kgm3 × 1.67 × 10-3[m3/s] ( – 0.21 j – 0.21 i )[m/s]
= ( – 0.35 j – 0.35 i )[N]
[3] 평판에 충돌하는 물제트의 힘
노즐에서 분출된 물제트가 고체의 표면에
▪ 수직으로 충돌하는 경우
▪ 경사지게 충돌하는 경우
▪ 표면이 이동하는 경우에 충돌면에 가해지는 힘을 구하자
1) 고정평판에 수직으로 충돌하는 경우
넓은 고정면에 충돌할 경우
, 속도의 방향은
변하지만 크기는 변하지 않는다
. 힘 F 는
∴ F = Fx = QV1 = QV
F
x = (p1A1- p2A2) – Q (V2 - V1 )
모두 대기에서 진행되므로
p
1 = p2 = P0 = 0
또한 x 축 성분은 충돌 후 정지하므로
☞ V
2 = 0
예제
4-10)노즐에서 10[m/s]의 속도로 240[L/s]의
물이
분출할때 반발력은
? (작용과반작용의 법칙)
F = Qv
F = 103 [kg/m3] × 240 × 10-3 [m3/s] × 10 [m/s] = 2.4 [kN]
주관식
3)노즐에서 10[m/s]의 속도로 240[L/s]의 물이
분출할때 이 수조차를 그 자리에 정지시키는데 필요한 힘을
구하여라
( 단 마찰은 무시한다)
27. 지름 20 cm, 속도 1m/s
인 물제트가 그림에서와 같이 넓은 평판에
600 경사지게 충돌한다. 제트가 평판에 수직으로 작용하는 힘 F
N은
약 몇 N인가
? (
단, 중력은 무시한다)
F = QV = AV2
F = AV2 = 1000 kg/m3 × 2 m2 × (1m/s) 2 = 31.4 N
F
N = F sin 60
0
= 27.2 N
객관식
2) 분류판의 지름이 5 [cm]이고, 매분 1.8 [m3]
의 물을 평판에 직각으로 토출할 경우 평판에 작용하는 힘
(kg
f) 을 구하여라.
F = QV
Q = 1.8 [m3/min] = 0.03 [m3/s]
Q = AV 에서 V = Q/A ☞ A = 1.96 ×10-3 [m2]
∴ V = 15.3 [m/s]
F = QV = 103 [kg/m3] × 0.03 [m3/s] × 15.3 [m/s] = 459 [N] = 46.8 [
kg
f]
☞ 물제트의 지름에 비해 평판이 작은 경우
F = AV2 = QV(1-cos
F
x
F
0
’
[3] 평판에 충돌하는 물제트의 힘
2) 고정평판과 경사진 물제트의 힘
F
x = Q(v1x - v2x), v1x = v sin v2x = 0
► Q Q
1 +
Q
2
물제트가 벽에 수직으로 가하는 힘을 F
x ,
물제트 방향으로 가하는 힘은 F
0
평면 방향의 성분은 F
y
► F
x 는 평면에 수직인 성분
F
y 는 평면과 평행한 성분
F
x = Qv sin
F
y = Qv cosv(Q1 - Q2) →QcosQ1 -
Q
2
F
0 = Fx cos(’)=Qv sin
2
3) 이동하는 평판과 충돌하는 물 제트의 힘
F = Q(v-u) = A(v - u)2
평판이 물제트의 방향으로 속도 u로 이동하면
,
상대속도는
v-u 가 된다.
따라서 평판에 가하는 힘
F
는,
예제
4-7) u=10[m/s],v=35[m/s]
로 평판과 수직으로
물제트가 충돌시 평판에 가하는 힘은
?
(
단, 노즐 직경은 60[mm]임)
F = Q(v-u)= A(v-u)2
26) 그림과 같이 노즐에서 분사되는 물의 속도가 V = 12 m/s
이고
, 분류에 수직인 평행판은 속도 v=4 m/s
로 움직일 때 평판이
받는 힘은 몇
[N]인가 ?
(단 노즐의 단면적은
0.01 m2 이다.)
⑴ 640 960 1,280 1,440
⑵
⑶
⑷
F = QV =AV2
28. 지름의 비가 1:2인 두 원형 물제트가 정지한
수평평판의 양쪽에 수직으로 부딪혀서 평형을
이루려면 분출속도의 비는 ?
⑴ 1 : 1 2 : 1 4 : 1 8 : 1
⑵
⑶
⑷
A
1V1
2
=A
2V2
2
예제
4-9)분수가 13[m/s]의 속도로 같은 방향으로 7[m/s]의
속도로 움직이는 평판에 미치는 힘은
?
(
단, Q=113[l/s], q=600 임)
F = Q(V-u) = Qv
F
x =F(1-cos)=F(1-cos60
0
)=169.2[N]
F
y = -Fsin()=-Fsin(60
0
)=-293[N]
4-3 운동량 모멘트의 원리
▪ 한 점을 중심으로 회전하는 경우에, 물체에 작용하는
힘의 모멘트는 운동량 모멘트의 단위시간 변화율이다
.
☞ 이를 운동량 모멘트의 원리(혹은 각운동량의 원리라함)
0
r
m
F
t
접선(tangent) 방향의 힘
F
t 가 질량 m의 물체에
작용하고 접선방향의 가속도가 a
t 라고 하면
F
t = mat
∴ 토오크
T = F
t · r = m r at
▪ 아래는 유체가 원점을 중심으로 반경이 r
1,r2인
관을 선회하며 유출하고 있다
.
u
1, u2 : 반경 r1, r2인 각 원주의 접선방향 속도
v
1: u1 에 수직방향으로 유체 유동속도
v
2: u2 에 수직방향으로 유체 유동속도
① 반경 r
1,r2
지점에서 유통량
반경 r
과 r +Δr 사이의 면적은 2πrΔr
따라서 시간당 면적율은
,
r vt 관계식으로부터,
2rv
∴ Q
1= 2r1v1, Q2= 2r2v2
∴ dt 시간동안의 질량은
m
1 = 1Q1dt = 21r1v1dt,
m
2 = 2Q2dt = 22r2v2dt
■ 정리
u
1, u2 : 반경 r1, r2 인 각 원주의 접선방향 속도
① r
1에서 접선방향 힘 F1 = 1 Q1u1
∴ 토크 T1 = F1∙ r1 = 1Q1u1r1
r
2
r
1
∴
T = T
2 - T1 = 2Q2u2r2 - 1Q1u1r1
동일한 유체의 정상 흐름이면
,
즉, ρ
1=ρ2 , Q1=Q2
u
2
u
1
② r
2에서 접선방향 힘F2 = 2Q2u2
∴ 토크 T2 = F2∙ r2 = 2Q2u2r2
∴
T = Q (u
2r2 - u1r1)
예제
4-12)지름이 12[in]
인 정원용 스프링 쿨러로부터 두
개의 수평분출구가 물을 접선방향으로 분출한다
.
분출속도는
10[m/s], 유량이 0.014[m3/s]일때 토크는?
각 분출구의 유량 = 0.007[m3/s]
반경
r = 6[in] = 0.15[m]
각 분출구의 힘 = Qu = 70[N]
각 분출구의 토크 = 70[N]∙0.15[m] = 10.5[N ∙ m]
동일한 조건의 분출구가
2개
∴ 전체 토크는
21[N ∙ m]
38. 그림과 같이 속도 V인 유체가 정지하고 있는 곡면깃에 부딪혀
의 각도로 유동 방향이 바뀐다
. 유체가 곡면 깃에 가하는 힘의
x,y 성분의 크기를 |F
x| 와 |Fy| 라고 할 때
|F
y| / |Fx| 는?
▪ F = Q(V
2 – V1 )
물리량
x 성분
y 성분
V
1
V
0
V
2
Vcos
Vsin
▪ F = Q(V
2 – V1 ) 공식에서
▪ F
x = Fx = Q(Vcos –
V
)
▪ F
y = Fy = QVsin
36. 그림과 같은 곡관에 물이 흐를때 계시압력으로 P
1이 98 kPa이고,
P
2 가 29.42kPa이면 이 곡관을 고정시키는데 필요한 힘은 약 몇 [N]
인가
? (
단, 높이차 및 모든 손실은 무시한다.)
⑴ 4482 4518 4654 4747
⑵
⑶
⑷
p
1, v1
p
2, v2
F
x = Q(v2 - v1 ) = p1A1 - p2A2 – Fx
∴ F
x = p1A1 - p2A2 – Q(v2 - v1 )
물리량
x 성분
y 성분
비고
p
1A1
p
1A1
0
입력 유체에 작용하는 힘
p
2A2
-p
2A2
0
출력 유체에 작용하는 힘
V
1
V
1
0
입구 속도
V
2
-V
2
0
출구 속도
∴ F
x = p1A1 + p2A2 – Q(-v2 - v1 )
= p
1A1 + p2A2 + Q(v2 + v1 )
p
1, v1
p
2, v2
∴ F
x = p1A1 + p2A2 + Q(v2 + v1 ) = 4746 [N]
Qv
1 = 287 [N]
Qv
2 = 1148 [N]
32. 그림과 같은 고정 베인에 대하여 제트가 속도 V
1, 유입각 α , 유출각
β
로 작용할 때 베인을 고정시키는데 필요한 x 방향 성분의
힘
F
x 는 ? ( 단 Q는 유량 ρ는 유체의 밀도이다.)
물리량 x 성분
y 성분
비고
V
Vcosα Vsinα
입구속도
V
-Vcosβ Vsinβ
출구속도
▪ F = Q(V
2 – V1 ) 공식에서
▪ F
x = Fx = Q(-Vcosβ – Vcosα)
∴ F
x = QV(cosβ +cosα)
17. 그림과 같이 수평면과 β = 300 의 각도로 기울어진
아주 큰 평판 위에 균일한 두께
t = 1 mm 의 앏은
기름 막이 있다
.
기름막 위에 놓여진
20 cm × 20 cm 의 정사각형 평판은
평판 무게
800 N에 의해 일정한 속도 5m/s로 미끄러져
내려오고 있다
. 이때 기름의 점성계수는 몇 N·s/m2 인가 ?
F =
40
0 N
무게
w = 800 N
∴ μ = 2 N·s/m2
=
Δv
Δy
[N/m2]
=
A
F
☞ 면적
A = DL
27. 직경이 D 인 원형축과 슬라이딩 베어링 사이(간격 = t, 길이 = L)에
점성계수가 μ 인 유체가 채워져 있다
. 축을 ω 의 각속도로 회전시킬 때
필요한 토크를 구하면
?(단 t ≪ D)
=
Δv
Δy
[N/m2]
=
A
F
☞ F=
Δv
Δy
[N]
18. 길이가 2m 이고 반경이 각각 50 cm, 51 cm 인
두 개의 동심실린더 사이에 유체가 채워져 있다
.
바깥쪽 실린더를 고정시키고 안쪽 실린더를
3 rpm으로
회전시키는데 필요한 토크는 약 몇
[N·m] 인가 ?
( 단 유체의 점성계수는 5 N·s/m2이다.
☞ 3 rpm은 분당 3회전. 1회전하면 돌아간 각도는 2π 이다.
☞ 3 rpm은 분당 돌아간 각도는 6π 이다.
∴ 속도 v = rω = 0.05 π m/s
=
Δv
Δy
[N/m2]
=
A
F
☞ F=
Δv
Δy
[N]
= 494 N
∴ 토크
T = F · r
= 247 N·m
2013 1차
24. 그림에서 탱크차가 받는 추력은 약 몇 N 인가 ?
(
단, 노즐의 단면적은 0.03 m2이며 마찰은 무시한다)
수두
h [m]의 수두 압 P = 9800 × h [Pa] = 0.1 × h [kg
f /cm
2
]
유체 정역학에서
∴ 수두
1 m 압력은 9.8 [kPa] ☞ 40 [kPa]
은 수두
4.1 m
∴ 밑면에서 전 수두는
9.1 m
☞ 속도수두로 환산하면 유속은 13.34 m/s
∴
F = ρQV = ρAV2 = 5340 N
