다변수해석학 중간고사(2011. 04. 22)

1. 다음을 구하여라. (20점)

1.1 두 직선 과 사이의 거리

1.2 집합 을 벡터공간이 되도록 만드는 두 연산

2. 행렬식에 관한 다음 명제를 증명하여라. (20점)

2.1 행렬 의 행렬식 라 할 때, 가 두 벡터 와 가 만드는 평행사변형의 면적 과 같음을 보여라.

2.2 행렬 의 행렬식 라 할 때, 가 세 벡터 , 와 가 만드는 평행육면체의 체적 와 같음을 보여라.

3. 3차원 유클리드 공간 에 놓인 두 곡선 의 단위속력곡선 매개화를 각각 , 라 하자. 위의 점 에서의 곡률 과 비틀림 과 위의 점 에서의 곡률 과 비틀림 이 일치한다면 두 곡선은 합동이다. 다음은 이를 증명하는 각 단계이다.

1단계) 곡선 위의 점 에서의 프레네 틀장 을 곡선 위의 점 에서의 프레네 틀장 으로 보내는 직교변환 를 구한다. 2단계) 곡선 를 으로 정의한다. 3단계) 곡선 의 프레네 틀장을 이라 하고 함수 라 정의한다. 4단계) 를 보인다. 5단계) 를 보인다.

다음 물음에 답하여라. (20점)

3.1 위 설명 중 4단계를 증명하여라.

3.2 에 놓인 두 곡선 , 와 , 는 서로 합동이다. 곡선 를 곡선 로 보내는 유클리드 합동변환을 구하여라.

4. 곡면위의 한 점에 놓인 물체가 굴러가는 방향을 구하는 문제를 생각해보자. 물체를 움직이게 하는 힘은 중력가속도이므로 주어진 곡면은 이변수 함수 의 그래프라 놓고, 중력가속도는 축과 평행한 단위벡터 이라 둔다. 처음 물체가 놓인 위치를 곡면위의 한 점 이라 둘 때, 다음 물음에 답하여라. (20점)

4.1 물체는 곡면 위에서 움직이므로 점 에서 물체를 움직이게 하는 힘은 중력가속도의 접평면 성분 이다. 이를 구하여라.

4.2 위 결과로 부터 점 에서 물체는 곡면이 가장 많이 구부러진 방향으로 움직임을 설명하여라.

5. 곡면 과 에 관한 다음을 구하여라. (20점)

5.1 두 곡면의 교점 에서 과 에 모두 접하는 직선의 식

5.2 위에서 정의된 함수 의 최댓값