기하학 일반 중간고사(2011. 04. 22)

1. 유클리드는 그의 저서 ‘원론(the Elements)’을 통하여 자와 컴퍼스를 이용한 평면기하학을 보다 체계적으로 서술하려 하였다. 그 과정에서 5개의 공리로 이루어진 아래의 공리계를 설정하게 되었으며 이를 가정하고 당시까지 알려진 기하학의 명제들을 논증적 방법을 통하여 증명하였다.

	유클리드의 (평면) 기하학 공리계
공리1. 서로 다른 임의의 두 점을 지나는 직선은 있고 하나뿐이다. 공리2. 임의의 직선 안에 유한선분을 연속하게 잡을 수 있다.(직선은 양 쪽으로 무한하다.) 공리3. 임의의 점을 중심으로 임의의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다. 공리4. 모든 직각은 서로 같다. 공리5. 두 직선에 동시에 대리는 한 직선이 같은 쪽에서 2직각보다 작은 내부각을 이룬다면, 두 직선이 무한대로 연결될 때 각이 2직각보다 작은 쪽에서 만난다.

유클리드가 제시한 평면 기하학의 공리계는 완전하지 못하다. 유클리드의 공리계를 보완하기 위하여 힐버트는 결합공리군, 순서공리군, 합동공리군, 연속공리군, 평행공리군의 5개의 공리군으로 이루어진 평면기하학의 공리계를 제시하였다. 공리계의 의미에 입각하여 힐버트가 제시한 각각의 공리군들이 유클리드의 공리계의 어떠한 문제점을 보완하고 있는 가에 관하여 800자 내외로 논하여라.(20점)

2. 다음은 아래의 정리를 증명하는 단계이다. 각각의 단계를 정당화 하여라.(20점)

정리. 이 이고 인 사케리 사각형이라고 하자. 밑변 와 윗변 의 중점을 각각 이라고 할 때 은 과 에 각각 수직이고 , 이다.

(ⅰ) 이므로 이다.

(ⅱ) 이므로 이다.

(ⅲ) 따라서

(ⅳ) 선분 , 을 생각하면 임을 보일 수 있다.

(ⅴ) 한편, 사각형 에서 이므로 이다.

(ⅵ) 같은 이유에 의해 이다.

3. 좌표평면 에서 직선 과 직선 에 대한 반사사상을 각각 이라고 할 때 을 구하여라. 또 임을 유추하여라.(20점)

4. 집합 에서 로의 입체사영을 다음과 같이 정의하자.

각각의 에 대하여 직선 을 이라 할 때, 사상 , 과 사상 , 의 합성을 로 정의한다.

위와 같이 정의된 입체사영 에 대한 다음 물음에 답하여라.(20점)

4.1 의 식을 구하여라.

4.2 입체사영은 를 지나지 않는 구 위의 원을 평면위의 원으로 사영시킴을 보여라.

5. 집합 의 임의의 원소를 점으로, 일차방정식의 해집합을 직선으로 정의하고, 보통의 거리를 주면 는 유클리드 평면이다. 다음 조건을 만족하는 일대일대응 를 생각하자.

조건1) , , 조건2) 는 임의의 직선을 직선으로 대응시킨다. 조건3) 는 연속이다.

다음 물음에 답하여라.(20점)

5.1 사상 가 선형사상임을 보여라.

5.2 정의역과 공역에 모두 의 보통거리 를 주면 사상 는 등장사상이 아님을 보여라.

5.3 에 새로운 거리 를 제시하여 가 등장사상이 되도록 하여라.