기하학 일반 기말고사(2011. 06. 17)

1. 평면기하의 모델로 집합 에 직선을

(ⅰ) 축과 평행한 (유클리드) 직선과 의 교집합

(ⅱ) 중심이 축 위에 있는 (유클리드) 원과 의 교집합

으로 정의하면 쌍곡평면 기하의 공리를 만족한다. 다음 물음에 답하여라.(40점)

1.1 위 모델이 다음의 결합공리를 만족함을 보여라.

공리. 서로 다른 두 점을 연결하는 직선은 일의적으로 존재한다.

1.2 위 모델이 다음의 공리를 만족함을 보여라.

공리. 하나의 직선 과 직선 밖의 한 점 에 대하여 를 지나고 과 만나지 않는 직선은 두개 이상 존재한다.

1.3 쌍곡평면 위의 두 점 사이의 쌍곡거리 를 다음과 같이 정의한다.

위와 같이 정의한 거리가 실제 거리함수의 조건을 만족함을 보여라.

1.4 쌍곡평면 위의 두 점 사이의 쌍곡거리 를 구하여라.

2. 타원기하에 관한 다음 물음에 답하여라.(30점)

2.1 구면 위의 두 점 을 연결하는 구면위의 곡선 중에서 길이가 최소인 것은 대원에 의하여 주어지는 호임을 보여라.

2.2 구면삼각형(측지삼각형) 에 대하여 관계식

이 성립함을 보여라.

2.3 구 위의 세 꼭지점의 좌표가 , , 인 측지삼각형 에서 를 구하여라.

3. 평면사영기하의 모델로 다음을 생각할 수 있다.

,

다음 물음에 답하여라.(20점)

3.1 관계 이 동등관계(equivalent relation)임을 보여라.(10점)

3.2 관계 에 관한 동치류를 로 표현하자. 사영평면 의 직선을 로 정의한다. 이와 같이 정의된 모델은 사영기하학의 다음 공리를 만족함을 보여라.(10점)

공리. 임의의 서로 다른 두 직선은 반드시 한 점에서 만난다.

4. 사영기하학에서 성립하는 다음의 정리에 대하여 물음에 답하여라.(20점)

정리(데자르그의 정리). 두 삼각형 와 이 사영위치에 있고, 대응하는 변 또는 그의 연장선이 만나면 이들 세 교점은 한 직선위에 있다. 주. 사영위치: 대응하는 점을 지나는 직선이 한 점에서 만난다.

5.1 위 정리를 증명하여라.

5.2 위 정리를 유클리드 기하학에서 성립하는 정리의 형태로 바꾸어 서술하여라.