다변수해석학 7차 퀴즈(2011. 05. 27)

1. 이변수 함수 , 과 곡선 에 대하여 다음을 계산하여라. (각 5점)

1.1 1차 형식

1.2 곡선 의 매개변수방정식

1.3 선적분 의 절댓값

2. 의 벡터장 에 대하여 다음 물음에 답하여라. (각 5점)

2.1 (화살표를 이용하여) 벡터장 를 그림으로 나타내어라.

2.2 극좌표로 표현된 곡선 를 직교좌표평면위에 그려라.

2.3 벡터장 의 선적분 을 계산하여라. (단, 곡선 의 향은 시계반대방향으로 한다.)

3. 다음은 단순연결영역(simply connected domain) 위에서 주어진 벡터장이 보존력(conservative force)가 되기 위한 조건을 말해주는 정리의 증명이다. 빈 칸에 적당한 내용은?(10점)

정리. 단순연결영역(simply connected domain) 위에서 정의된 벡터장 을 생각하자. 이면 벡터장 는 보존력이 되다. 증명. ( ) 가 보존력이라 함은 정의에 의하여 적당한 미분가능한 함수 에 대하여 를 만족하는 것이다. 따라서, 이 성립한다. ( ) 벡터장 에 대하여 (*)를 만족하는 함수 가 존재함을 보이면 된다. (*)는 연립미분방정식 과 동치이다. ①의 좌변을 에 관하여 적분하면, 적당한 함수 에 대하여 이며 함수 를 구하기 위하여 위 식을 다시 에 관하여 미분하면, 이므로 이다. 이 식의 우변은 에 따라 그 값이 바뀌는 듯이 보이나 우변을 에 관하여 미분하면 이므로 조건 ( (2) )에 의하여 항시 0임을 알 수 있다. 따라서 는 ( (3) )임을 알 수 있어서 가 미분방정식의 해 임을 알 수 있다.

4. 의 벡터장 에 대하여 의 발산(divergence) 과 의 회전(curl) 을

로 정의한다. 다음 물음에 답하여라.(10점)

4.1 의 벡터장 에 대하여도 보존력임을 판별할 수 있는 쉬운 방법이 있다.

정리. 단순연결 영역위에서 정의된 의 벡터장 가 보존력이기 위한 필요충분조건은 의 회전(curl) 이 항상 0인 것이다. 즉, : 보존력

이 정리를 이용하여 벡터장 가 보존력이 되기 위한 상수 를 구하여라.

4.2 에서 정의된 함수 가 조화함수(harmonic function) 즉,

이면 관계식 이 성립함을 보여라.( 즉, 는 비회전적인 벡터이다. )

다변수해석학 7차 퀴즈(2011. 06. 01) 답안지

학번		점 수
이름

1번 문항
1.1	1.3
1.2	2.2
2번 문항
2.1	2.2
2.3
3번 문항
3.1	3.2
3.3	3.4
4번 문항
4.1
4.2