대학수학 1 기말고사(2011. 06. 14)

1. 다음 물음에 답하여라. (40점)

1.1 는 이차함수로 이며 는 유리함수이다. 의 값은 얼마인가?

1.2 를 계산하여라.

2. 다음 물음에 답하여라. (40점)

2.1 은 에서 연속이고 일 때, 다음이 성립함을 보여라.

2.2 특이적분 은 일 때 수렴하고, 일 때 발산함을 보여라.

3. 다음 명제를 증명하여라. (40점)

3-1. ()이 수렴하면 은 발산하는 급수이다.

3-2. 무한급수 이 수렴하고 이 발산하면, 급수 은 발산한다.

4. 다음을 증명하여라. (40점)

4.1 이 존재하지 않거나 이면 급수 은 발산한다.

4.2 과 은 항이 양수인 무한급수라 하자. 이 수렴하고 모든 자연수 에 대하여 이면, 도 수렴한다.

5. 과 은 항이 양수인 무한급수이고 이 수렴한다고 하자.

이면, 도 수렴함을 증명하여라. (20점)