<해석학 4차 퀴즈시험 문제>

1. 다음 명제 중 참인 것을 모두 고르시오. (8점)

ㄱ. 평등연속함수열 이 에 평등수렴하면, 는 평등연속이다. ㄴ. 유계함수열 이 에 평등수렴하면 는 유계함수이다. ㄷ. 함수가 에서 미분가능하고, 이면 의 적당한 근방이 존재하여, 그 근방 내에서 는 증가함수이다. ㄹ. 임의의 함수 는 위에서 적당한 계단함수로서 평등근사 시킬 수 있다.

2. 다음 중 함수열이 에 평등수렴하기 위한 조건으로 옳은 것을 모두 고르시오. (8점)

ㄱ. 연속함수열이 에 점별수렴하고, 가 연속이다. ㄴ. 함수열이 에 평등수렴하고, ㄷ. , 의 임의의 점 애 수렴하는 임의의 수열 에 대하여, ㄹ. 가 연속이고, 를 에 속하는 함수로서 평등근사 시킬 수 있다.

3. 다음은 함수항급수의 수렴 판정법에 관한 물음이다. 물음에 답하여라.

3-1. Weierstrass-M 판정법을 서술하시오. (2점)

가정	항진	결론
(1-1)		이 수렴한다.

3-2. Cauchy 판정법을 서술하시오. (2점)

가정	항진	결론
(1-2)		이 수렴한다.

3-3. 함수열을 이라 할 때, Weierstrass-M 판정법을 이용하여 의 수렴성을 판정하여라. (3점)

3-4. 함수열을 이라 할 때, Cauchy 판정법을 이용하여 의 수렴성을 판정하여라. (3점)

4. 함수 을 이라 할 때,

임을 보여라. (5점)

5. 다음 함수가 에서 미분가능한지 판별하여라. (각 4점)

5-1.

5-2.

6. 다음은 정리 ‘함수 가 연속이면 는 계단함수로서 평등근사 시킬 수 있음을 증명하는 과정이다. 빈 칸에 적당한 내용은? (4점)

증명) 을 임의의 양수라 하자. 는 집합이므로, 는 ( ㉠ )이다. 따라서, 그러면, 이다. 이때, 계단함수를 이라 하면, 이다.

7. 다음은 Weierstrass의 근사정리에 관한 물음이다. 물음에 답하여라.

7-1. 다항 함수 가 을 만족하면, 임을 보여라. (3점)

7-2. 연속함수 가 을 만족하면, 임을 보여라. (4점)

해석학 4차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1		2
3-1
3-2
3-3
3-4
4
5-1
5-2
6

7번은 뒷면에 풀 것!