해석학 7차 퀴즈 시험지

1. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.(O·X문제)

ㄱ. 은 에서 미분가능하다. ( )

ㄴ. 함수 에 대하여 의 극한이 존재하면 는

에서 미분가능하며 ( )

ㄷ. 함수 가 에서 미분가능하며 는 와 사이의 값이라 하면 가

되는 c가 에서 존재한다. ( )

ㄹ. 연속함수 와 에 대하여, 이면 이다. ( )

ㅁ. 함수가 에서 미분가능하며 이면 적당한 가 존재하여 이고 인 모든 에 대하여 일 때, 이 다. ( )

2. 다음 극한값을 구하시오.(과정 서술)

(단, )

3. 다음은 구간 위에서 정의된 미분가능 함수열 이 두 조건

(ⅰ) 어떤 점 에 대하여 가 수렴하고

(ⅱ) 함수열 가 위에서 어떤 함수에 평등수렴한다.

을 만족할 때 ‘은 위에서 어떤 함수 에 평등수렴한다.’를 증명하는 과정이다. 빈 칸에 적당한 내용은?

증명) 을 임의의 실수라 하자. 수열 가 수렴하고, 함수열 가 위에서 평등수렴하므로, 에 대응하는 적당한 자연수 K이 존재하여 인 모든 자연수 n,m에 대하여 이고, 모든 점 에 대하여 [ ㉠ ]이 성립한다. 여기서 에 대한 함수 에 대해서 평균값 정리를 적용하면 임의의 두 점 에 대하여 [ ㉡ ] 이 성립한다. 한편, 부등식 [ ㉢ ] 에서, 위의 사실들을 종합하면 모든 점 에 대하여, 이 성립한다. 따라서, 은 위에서 평등수렴한다. 여기서, 극한함수 을 로 정의하면 은 위에서 에 평등수렴한다.

4. 다음을 법을 이용하여 증명하시오.

구간 위에서 정의된 미분가능함수열 에 대하여

① 이 위에서 에 평등수렴한다.

② 이 위에서 로 평등수렴한다.

위 두 조건을 만족할 때 극한함수 의 도함수 이 존재하고 이다.

5. 다음 중 극한 기호 와 도함수 기호 가 교환가능한 것을 모두 고르시오.(즉, 참인 명제를 모두 고르시오) (한 문제당 3점씩)

① 임의의 (자연수)에 대하여 함수 을 로 정의할 때,

이 성립한다.

② 임의의 (자연수)에 대하여 함수 을 ,로 정의할 때, 이 성립한다.

③ , 를 만족하는 임의의 미분가능함수열 에 대하여 이 성립한다.

④ 미분가능함수열 을

, , 로 정의할 때,

이 성립한다.

6. 다음 중 참, 거짓을 구분하고 이유를 서술하시오.

(1) , 일 때, 이다.

(2) , 일 때, 이다.

해석학 7차 퀴즈 답안지

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