미분기하학 2차 퀴즈(2011.09.19)

1. 이고 일 때, 다음 빈칸을 채워라. (단, 는 상수)

( ① ) ( ② ) ( ③ ) 인 가역행렬 이고 (즉, 와 가 닮음) 일 때, ( ④ ) 일 때 ( ⑤ )

2. , 일 때 다음 보기의 대소관계를 비교하여라.

2-1.

2-2.

2-3.

2-4.

3. 반지름이 이고 원점을 중심으로 하는 원으로 수렴해가는 곡선 가 다음과 같을 때 다음 물음에 답하여라.

3-1. 의 매개변수 식을 구하여라.

3-2. 의 곡률이 이 되는 를 구하여라.

4. 다음 빈칸에 적당한 내용을 제시하여라.

4-1. 곡률이 상수이고 평면곡선이면 곡선은 ( )이다.

4-2. 곡률이 이면 곡선은 ( )이다.

4-3. 곡선은 ( )과 ( )에 의해 완전히 결정된다.

4-4. 곡률과 비틀림이 상수이면 ( )곡선이다.

4-5. 비틀림이 인 곡선은 ( )이다.

5. 다음은 “ 가 합동변환이면 , (이때 는 직교행렬)”의 증명 과정이다. 다음 빈칸에 적당한 내용을 제시하여라.

가 합동변환이므로 정의에 의하여 에 대하여 (①)이다. 즉, (②)이고, 라 하면 는 합동변환이고, 를 만족한다. 이므로 이고, 의 한 정규직교기저 에 대하여 이고 이므로 역시 ( ⑦ )이다. , 에 대하여 이고 이고 이므로 이다. 이로부터 쉽게 가 선형함수임을 알 수 있고 를 행렬로 나타낼 수 있다. 이 때 행렬을 라하면 ( ⑧ ) 이므로 이다. 즉 는 ( ⑨ )행렬 따라서 이다.

6. 곡선 를 적당한 합동변환 를 했더니

가 되었다. 다음 물음에 답하여라.

6-1. 를 의 형태로 표현을 할 때, 행렬와 벡터 를 구하여라.

6-2. 를 구하여라.

6-3. 위의 점 에서의 곡률과 비틀림을 구하여라.

미분기하학 2차 퀴즈 답안지

학번 : 이름 :

1번	① ④ ② ⑤ ③
2번	2-1		2-3
	2-2		2-4
3번	3-1
	3-2
4번	4-1			4-4
	4-2			4-5
	4-3
5번	① ⑥ ② ⑦ ③ ⑧ ④ ⑨ ⑤
6번	6-1
	6-2			6-3