해석학 9차 퀴즈

1. 함수에 대하여, 다음의 참, 거짓을 판별하시오.(각 2점)

ㄱ. 가 적분가능하면, 는 적분가능하다. ㄴ. 함수 적분가능하면 는 적분가능하다. ㄷ. 는 에서 적분 가능하다. ㄹ. 가 적분가능하며, ℝ, 은 Lipschitz연속이다. ㅁ. 함수적분가능이면, 도 적분가능하다.

2. 이고 이면

임을 보이시오.(4점)

3-1. 함수 일때 는 에서 적분가능한가?

적분 가능하면 적분값을 구하고, 적분 가능하지 않다면 이유를 서술하시오.(4점)

3-2. , 일 때

임을 증명하시오.(4점)

4. 다음은 정리「 함수 」를 증명하는 과정이다.

4-1. 증명 중 잘못된 부분을 지적하시오.(3점)

을 임의의 양수라 하자. 는 유계이므로, 적당한 양수 가 존재하여 이다. 는 적분 가능하므로, 적당한 분할이 존재하여, 을 만족한다. ∴ 도 적분가능하다.

4-2. 위 증명은 「 가 적분가능하면, ( )가 적분가능하다.」을 알고 있으면, 위 증명을 완성할 수 있다.(3점)

5. , 미분가능하고, , 을 만족할 때, 다음 물음에 대하여 답하시오.

5-1. 이 성립함을 보여라.(4점)

5-2. 의 최솟값을 구하시오.(4점)

5-3. 가 최솟값을 가질 때, 를 구하시오.(2점)

6. 유계인 함수가 적분가능할 필요충분조건은 측도가 “0”이다.

이를 이용하여, 다음 정리를 증명하여라.(6점)

함수 , 적분가능하고 ℝ, 연속일 때, 는 적분가능함을 보이시오.

(※힌트 : 의 불연속점과 의 불연속점의 관계를 이용하여라.)

7-1 에서 무리수의 르베끄 측도는 1임을 증명하는 과정이다. 빈 칸에 알맞은 답을 넣으시오. (4점)

증명) 에서 유리수 집합을 , 에서 무리수집합을 라 하자. ( ㉠ )이므로 가 성립한다.(단, 은 르베끄 측도) 이 때, 이므로 이고, ( ㉢ )이므로 이 된다. 따라서 ( ㉣ ) 이 되고, 에서 무리수의 르베끄 측도는 1이 된다.

7-2. 처음구간은 에서 시작한다. 을 5등분한 후 어떤 가운데 개구간 (단, )을 제외한다. 그러면 이 남는다. 그리고 두 번째에는 구간 을 등분한 후 첫 번째 작업 후 남아있는 각각의 어떤 가운데 개구간 (단,)와(단, )을 제외한다.

그러면 이 남는다. 즉 n번째에는 구간 을 등분한 후, 번째 작업 후 남아있는 각각의 임의의 가운데 개구간을 위 방법처럼 제외시켜나간다. 이 때, 이 과정을 무한히 한다면 남아있는 집합의 측도는 얼마인지 서술하시오.(4점)

해석학 9차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1
2
3-1
3-2
4-1
4-2
5-1
5-2
5-3

6,7번은 뒷장에 풀기!