해석학 3차 퀴즈 시험지(03.28)

1. 다음 각 명제들에 대하여 참∙거짓을 답하여라.(OX문제)(하, 각2점)

1-1. 는 폐집합이다.( )

1-2. 구간 에 대하여 유한부분피복을 갖지 않는 개피복이 존재한다.( )

1-3. 모든 에 대하여 이 성립하면 이다.( )

1-4. 아래로 유계인 무한집합은 항상 집적점을 갖는다.( )

1-5. 집합 은 폐집합이다.( )

2. 다음 물음에 답하여라.

2-1. 실수의 부분집합 에 대하여 다음을 증명하여라.(중하, 5점)

“집합 가 집적점을 가지면 이다.”

2-2. 아래의 명제는 일반적으로 성립하지는 않는다. 다음의 보기 중 아래의 명제를 참이 되게 할 수 있는 조건을 모두 고르면? (중, 5점)

개구간 으로 이루어진 축소구간열 은 을 만족한다.

<보기> ㄱ. ㄴ. s.t. ㄷ. 이라 할 때,

➀ ㄱ,ㄴ ➁ ㄱ,ㄷ ➂ ㄴ,ㄷ ➃ ㄱ,ㄴ,ㄷ

3. 다음은 축소구간 정리 “폐구간열 에 있어서 모든 자연수 에 대하여 이 유계이고, 이면 이다”를 증명한 것이다. 증명을 완성하여라. (하, 10점 )

각 자연수 에 대하여 이라 놓으면, 이므로 이 성립한다. 여기서 집합은 에 의해 유계이므로 집합 ℝ의 완비성 공리에 의하여 의 상한 가 존재한다. 그러므로 이 되어 이다.

4. 단조증가 수열 과 단조감소수열 이 에 대하여 을 만족한다. 두 구간열 , , , 에 대하여 다음 물음에 답하여라. (중, 10점)

4-1. , 이 수렴함을 보여라.(3점)

4-2. 명제 “ 이면 이다.”의 참∙거짓에 대하여 논하여라.(4점)

4-3. 인 경우 을 구하여라.(3점)

5. 실수의 부분집합들 전체의 모임 에 순서관계를 다음과 같이 정의한다.

“는 보다 작다. ”

이 때, 다음을 만족하는 집합 를 구하여라. (단, ) (중, 각5점)

5-1. 가 폐집합이 되는 집합 중 가장 작은 집합

5-2. 가 개집합이 되는 집합 중 가장 큰 집합 (단, )

해석학 입문 3차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

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3
4	4-1
	4-2
	4-3

5번은 뒷면에