기하학 일반 1차 수시고사(2012. 04. 02)

1. 다음은 유클리드가 그의 저서 ‘원론(the Elements)’에서 제시한 평면기하학공리계이다.

	유클리드의 기하학 공리계
공리1. 서로 다른 임의의 두 점을 지나는 직선은 있고 하나뿐이다. 공리2. 임의의 직선 안에 유한선분을 연속하게 잡을 수 있다.(직선은 양 쪽으로 무한하다.) 공리3. 임의의 점을 중심으로 임의의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다. 공리4. 모든 직각은 서로 같다. 공리5. 두 직선에 동시에 대리는 한 직선이 같은 쪽에서 2직각보다 작은 내부각을 이룬다면, 두 직선이 무한대로 연결될 때 각이 2직각보다 작은 쪽에서 만난다.

유클리드는 위의 공리계로부터 그동안 알려진 기하학에 관련된 정리들을 유도하려 하였다. 기하학에 관한 이러한 형태의 접근 방법을 ‘공리적인 접근법’이라 부른다. 공리적 접근방법에서 가장 중요한 것은 공리를 설정하는 것이다. 기하학의 공리계는 모순이 없어야 하며(무모순성), 하나의 공리가 다른 공리들로부터 유도되어서는 안되며(독립성), 기하학의 명제들에 대하여 참 거짓을 판정할 수 있도록 충분하여야 한다(완비성). 이러한 관점에서 볼 때 유클리드가 제시한 평면기하의 공리계는 완비적이지 못하다. 유클리드의 공리계가 완비적이지 못한 이유를 유클리드의 공리만으로 참•거짓을 밝힐 수 없는 기하학의 명제를 3개 이상 제시하여 설명하여라.

2. 점, 선, 결합(위에 있다), 사이, 합동 등의 용어는 정의하지 않고 사용하는 용어, 즉 무정의 용어이다. 대표적인 평면 유클리드 기하학의 모델인

점: 의 원소

직선: , 와 는 동시에 0이 되지 않는 실수

은 힐버트의 모든 평면기하의 공리계를 만족시킨다. 힐버트의 결합공리군과 순서공리군의 공리들을 모두 만족시키지만 연속공리는 만족시키지 않는 구체적인 모델을 제시하여라.(주어진 모델에서 점과 직선, 결합되어 있다, 을 구체적으로 제시하여야 한다. )

3. 다음의 결합공리들은 점과 직선과의 관계를 규명해 주는 공리들이다.

	힐버트의 결합공리군
결합공리1. 임의의 두 점 에 대하여, 이면, 와 결합되어 있는 직선 이 유일하게 존재한다. 결합공리2. 임의의 직선 에 대하여, 과 결합되어 있는 점이 적어도 두개 존재한다. 결합공리3. 어떤 직선도 동시에 결합되어 있지 않은 서로 다른 세 점이 존재한다.

3.1 위 공리군을 만족하는 기하학의 모델 중 점의 수가 최소인 모델을 제시하여라.

3.2 위 결합공리군의 두 번째 공리를 다음 공리로 대체한다.

결합공리2‘. 임의의 직선 에 대하여, 과 결합되어 있는 점이 적어도 세 개 존재한다.

이 공리를 원래의 공리2와 바꾸어 새로 만든 공리군은 원래의 결합공리군과 동치인가?

4. 다음은 힐버트가 제시한 유클리드 기하학의 공리계 중 순서공리군이다.

	힐버트의 순서공리군
순서공리Ⅰ. 이면 이다. 순서공리Ⅱ. 서로 다른 두 점 에 대하여 직선 위에 인 서로 다른 세 점 가 존재한다. 순서공리Ⅲ. 가 한 직선 위에 있는 서로 다른 세 점이면 중 오직 하나만 성립한다. 순서공리Ⅳ(분리공리). 한직선 위에 있지 않은 세 점 에 대하여 (1) 점 와 점 가 직선 에 대하여 같은 쪽에 있고 점 와 점 가 에 대하여 같은 쪽에 있으면 점 와 점 는 에 관하여 같은 쪽에 있다. (2) 점 와 점 가 직선 에 대하여 반대쪽에 있고 점 와 점 가 에 대하여 반대쪽에 있으면 점 와 점 는 에 관하여 같은 쪽에 있다.

주. 정의(같은 쪽에 있다) 직선 과 직선 밖에 있는 서로 다른 두 점 에 대하여 선분 가 직선 과 만나지 않을 때, 점 와 점 는 직선 에 대하여 같은 쪽에 있다고 한다.

정의(반평면) 점 가 직선 위에 있지 않을 때, 직선 에 대하여 점 와 같은 쪽에 있는 점 전체의 집합을 을 경계로 하고 를 포함하는 반평면이라 하고 라 표기한다.

4.1 순서공리Ⅳ를 다음의 명제로 바꾸어 놓고자 한다.

정리. 임의의 직선은 정확히 두 반평면의 경계이고 이들 두 반평면은 어떤 공유점도 갖지 않는다.

순서공리Ⅳ를 위 명제로 바꾸어서 새로 얻은 공리계가 원래의 순서공리와 동치인가에 대하여 논하여라.

4.2 순서공리Ⅳ가 없이 다음 명제가 참임을 보일 수 있는 가에 관하여 논하여라. (순서공리 Ⅳ가 없으면 다음 명제가 성립함을 보일 수 없다면, 순서공리 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ이 성립하면서 다음 정리가 성립하지 않는 예를 제시하여라.)

정리. 이고 이면 이고 이다.

5. 힐버트의 유클리드 기하학 공리계에서 합동공리군의 첫번째 공리는 다음과 같다.

합동공리Ⅰ. 서로 다른 두 점 와 점 에 대하여 점 으로부터 방사되는 반직선 위에 이고 인 점 이 유일하게 존재한다.

5.1 합동공리Ⅰ과 관련되어 있는 고전 유클리드 기하학의 작도문제로 다음 문제를 생각할 수 있다.

임의의 선분 와 반직선 에 대하여 반직선 위의 점 를 와 같은 길이를 갖도록 잡을 수 있다.

눈금 없는 자와 거리를 옮길 수 없는 컴파스를 이용하여 점 를 작도하는 방법을 설명하여라.

5.2 작도문제에 있어서 “눈금이 없는 자와 스프링이 달리지 않은 컴파스(거리를 옮길 수 있는 컴파스)”로 작도하는 것과 “ 눈금이 없는 자와 스프링이 달린 컴파스(거리를 옮길 수 없는 컴파스)”로 작도하는 것이 같음을 설명하여라.

6. 다음 명제들을 증명하여라.

6.1 (엇각정리) 한 횡선에 의해 잘린 두 직선이 합동인 엇각의 쌍을 가지면 그 두 직선은 평행하다.

6.2 삼각형 에서

이다.

6.3 임의의 삼각형의 세 내각의 합은 보다 작거나 같다.