2012-2학기 미분기하학 강의계획서

담당교수: 김 태 순(e-mail: tskim@mokwon.ac.kr,

tel:(O)042-829-8544, (P)010-6405-4871

권장이수대상: 수학교육과 3학년

선수(권장)과목: 대학수학2, 선형대수학, 기하학 개론, 다변수해석학

상담시간: 화 8-9교시, 수 9교시, 금 8-9교시

강의개요:

학부과정의 미분기하학에서는 3차원 유클리드 공간에 놓여 있는 곡선과 곡면을 주된 대상으로 그들의 성질들을 휨의 정도를 의미하는 곡률을 도구로 하여 알아보는 것을 주된 목적으로 하며, 곡선과 곡면위에서 발생하는 여러 수학적 문제를 다루기 위한 기초를 소개하고 있다. 이 과정에서 우리가 다루고자 하는 곡선과 곡면의 뜻을 명확히 하고, 과거의 전통적인 기하학과 달리 휘어진 대상을 다루게 되므로 이를 위하여 과거 선배들이 제시한 주요한 수학적 아이디어와 그들의 모습을 기술하기 위하여 개발해 왔던 여러 개념과 도구들을 학습하게 된다.

미분기하학의 내용은 그 대상에 따라 크게 곡선론과 곡면론으로 나뉘게 되는데, 곡선론에서는 3차원 유클리드 공간에 놓인 매끄러운 곡선에 대하여 첫째, 휨의 정도를 표현하기 위하여 만들어낸 곡률과 비틀림률의 두 양을 소개하고 둘 째, 그들이 곡선에 미치는 영향을 알아본다. 곡면론에서는 2차원 유클리드 공간에 놓인 정칙곡면에 대하여, 첫째, 곡면에서의 좌표계를 소개하고 둘 째, 곡면의 휘어진 모양을 기술하기 위한 도구로서의 형작용소(shape operator)와 관련된 여러 곡률(법곡률, 가우스곡률, 평균곡률 등)을 소개한다. 셋 째, 각 곡률들이 곡면에 미치는 영향을 알아보고 그들로 부터 얻을 수 있는 곡면의 여러 기하적/위상적 성질을 알아본다. 마지막으로 곡선과 곡면 모두 그들 위에서 발생할 수 있는 여러 수학적 문제들(측지선, 대역적 성질, 유클리드 공간에서의 알려진 정리들의 일반화 등)을 간단히 다루게 된다.

이 교과목은 수학교육과의 기본이수과목으로 반드시 이수하여야 하는 과목으로 한국교육과정평가원에서 제시한 중등임용시험의 평가내용요소는 아래의 표와 같다.

평가영역	평가내용요소	중등학교 교육과정 관련성
벡터	벡터, 벡터함수, 방향도함수 등	11~12학년 - 기하와 벡터, 벡터
곡선의 개념	정칙곡선, 호의 길이, 자연표현	7,8,9학년- 수학-도형의 성질, 11~12학년- 미적분과 통계 기본, 적분과 통계- 적분의 활용 11~12학년-기하와 벡터- 벡터, 이차곡선
곡률과 비틀림	접선벡터, 곡률, 주법선벡터, 종법선벡터, 비틀림률 등	11~12학년-미적분과 통계기본, 수학2-도함수의활용 11~12학년-기하와 벡터-벡터, 이차곡선
곡선론	프레네공식, 곡선의 분류, 신개선, 곡률중심 등	11~12학년-기하와 벡터-이차곡선
곡면의 개념	정칙곡면, 단순곡면, 접평면과 법선 등	7,8,9학년-수학-도형의 성질, 11~12학년-미적분과 통계기본, 수학2- 도함수의 활용 11~12학년-적분과 통계, 적분의 활용
기본형식	제1(제2)기본형식, 곡면의 넓이, 법곡률, 주곡률, 가우스곡률, 평균곡률 등	11~12학년-미적분과 통계기본, 적분과 통계-적분의 활용
곡면론	측지적곡률, 측지선, 가우스-보네의 정리 등	11~12학년-미적분과 통계기본, 적분과 통계-적분의 활용

주교재: 강의록,

보조교재:

1. 미분기하학, O'neil 저, 이승훈∙한동숭 옮김, 경문사

2. 미분기하학, 정필웅 저, 청문각

3. 미분기하학개론(SCHAUN'S series), Lipschitz 저, 전재복 옮김, 경문사

4. Differential Geometry of Curves and Surfaces, Do Carmo 저, Prentice Hall

평가방법 및 반영율:

영 역	점 수	반영율	비 고
중간시험	250	25%	8주
수시시험	300	30%	주별 일정 참조
기말시험	250	22%	15주
보고서	100	9%	1회당 20점 3,6,11,13,15(총 5회)
출석	50	5%	결석 1회당 -5점 10회 이상 결석 시 F
수업태도	50	5%
계	1100	100%	* 60%이하 성적일 경우 F

주 별 강 의 계 획

주 차	일 정	내 용	비 고
1주	08.29~09.02	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시	미분기하학 overview
수	7,8교시	정칙곡선, 프레네 이론
2주	09.05~09.09	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시	곡률과 비틀림의 계산
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 성질	1차 퀴즈
3주	09.12~09.16	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시		추석연휴
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 의미	1차 보고서
4주	09.19~09.23	에 놓인 곡면의 기하학
월	6,7교시	다변수 함수론 review, 정칙곡면의 정의(좌표조각)	2차 퀴즈
수	7,8교시	정칙곡면의 정의(좌표조각, 매개곡선, 접평면 등), 정칙이 아닌 곡면, 가정 “에 놓인.. ”의 의미
5주	09.26~09.30	에 놓인 곡면의 기하학
월	6,7교시	정칙곡면의 예(평면, 구면, 꽈배기면, 현수면, 이차곡면 등)	3차 퀴즈
수	7,8교시	정칙곡면의 예(음함수, 회전면, 기둥면, 직선곡면 등)
6주	10.03~10.07	곡면 기하학을 위한 준비: 미적분학
월	6,7교시		개천절
수	7,8교시	미분가능성, 접벡터, 곡면위에서의 적분 등	2차 보고서
7주	10.10~10.14	곡면 기하학을 위한 준비: 선형대수학
월	6,7교시	행렬식, 내적, 외적	4차 퀴즈
수	7,8교시	대각화, 형식
8주	10.17~10.21	중간고사기간	10.22(토) 임용고시1차
월	6,7교시
수	7,8교시
9주	10.24~10.28	모양연산자
월	6,7교시	모양연산자의 정의, 성질
수	7,8교시	모양연산자의 계산, 고유값의 의미 등
10주	10.31~11.04	법곡률과 주요곡률
월	6,7교시	법곡률과 주요곡률의 정의, 성질	5차 퀴즈
수	7,8교시	오일러 공식, 법곡률과 주요곡률 계산법 등
11주	11.07~11.11	가우스곡률과 평균곡률
월	6,7교시	가우스곡률과 평균곡률의 정의, 성질 및 의미	3차 보고서
수	7,8교시	가우스보닛 정리의 소개, 가우스곡률과 평균곡률의 계산법
12주	11.14~11.18	등장사상
월	6,7교시	내재적 거리, 합동과 등장사상, 등장사상관련 정리 등	6차 퀴즈
수	7,8교시	등장불변량, 등각사상, 면적보존사상, 지도법 등
13주	11.21~11.25	곡면에서 의미있는 곡선들
월	6,7교시	다보우틀장, 주요곡선, 점근곡선, 측지선의 소개	4차 보고서
수	7,8교시	주요곡선, 점근곡선, 측지선의 성질
14주	11.28~12.02	가우스-보닛 정리
월	6,7교시	가우스- 보닛 정리(소개)	7차 퀴즈
수	7,8교시	가우스- 보닛 정리(활용)
15주	12.05~12.09	형식을 이용한 곡면의 기하학
월	6,7교시	형식이론	5차보고서
수	7,8교시	형식이론
16주	12.12~12.16	기말고사기간	기말고사
월	6,7교시
수	7,8교시

1장. 벡터 공간과 다변수 함수론

1절. 선형대수학: 빠른 복습(quick review)

정의. 집합 에 두 연산 스칼라 곱(scalar product)과 합(addition)이 정의되어 있어 다음의 8가지 조건을 만족할 때 을 (체 위에서의)벡터공간(vector space)이라 한다.

A1) ~ A4) : 합에 관하여 가환군을 이룬다.(닫혀있다, 항등원, 역원, 가환)

, ,

주. 체가 바뀌면 벡터공간의 차원을 바뀔 수 있다.

예. 복소수의 집합 은 실수 위에서는 2차원 벡터공간이지만, 위에서는 1차원 벡터공간이다.

주.

정의.(일차독립) 벡터공간 의 임의의 개의 원소 들의 일차결합(linear combination)

이 0일 필요충분조건이 모든 계수들 이 모두 0이 되는 것일 때 이들 벡터 를 일차독립(linearly dependent)이라 부른다.

주.

유한차원 벡터공간

2장. 와 에 놓인 곡선(Curves)

2-1 개요

2-2 매개곡선

2-3 정칙곡선; 호길이

2-4 에서의 벡터곱(외적, cross product)

2-5 호길이 함수로 재매개화된 곡선의 국소이론

2-6 평면곡선의 대역적 성질

2-1 개 요(Introduction)

곡선과 곡면의 미분기하학은 두 가지 측면을 가지고 있다. 하나는 소위 고전적 미분기하학이라 불리는 것으로 미적분학의 시초부터 같이 출발한 것이다. 대략 말하여 고전적 미분기하학은 곡선과 곡면의 국소적 성질을 연구하는 것이다. 여기서 국소적 성질이란 한 점 주변에서의 곡선과 곡면의 모양에만 의존하는 성질들을 말한다. 그러한 성질들은 연구하기에 적합한 방법은 미적분을 이용하는 방법이다. 이러한 이유로 미분기하학에서 고려되는 곡선과 곡면은 어느 정도의 미분가능성이 있는 함수들에 의하여 정의될 것이다.

다른 측면은 소위 대역적 미분기하학이라는 것이다. 대역적 기하학에서는 국소적 성질들이 전체에 미치는 영향을 연구한다.

아마 고전 미분기하학에서 가장 흥미롭고 괄목할 만한 부분은 곡면론일 것이다. 그럼에도 불구하고, 곡선의 국소적 성질들은 곡면을 연구하다 보면 자연스럽게 등장하게 된다. 따라서 우리는 처음 장을 곡선에 관한 간단한 소개로 시작하고자 한다.

곡선의 휨의 정도와 같은 기하적 내용을 다루기 위하여 곡선이 놓여 있는 집합에 거리가 정의되어 있어야 한다. 이 장에서는 2차원 유클리드 평면과 3차원 유클리드 공간에 놓여있는 곡선을 대상으로 하며, 유클리드 평면에는 표준 내적과 이 표준내적으로부터 얻어지는 거리를 사용한다.(주. 또는 에 표준내적 ,

을 준 내적공간 을 차원 유클리드 공간(Euclidian space)이라 부른다. 유클리드 공간에서는 내적으로부터 유도된 거리를 사용한다. 즉, 두 점사이의 거리

은 로 정의한다. )

2-2 곡선의 매개변수표현, 매개화된 곡선(parametrized curve), 곡선의 매개방정식 등등

보통 우리가 곡선을 말하면 사람들은 아래의 그림과 같은 모양을 떠올리게 된다.

그림1. 휘어진 곡선 1 그림2. 휘어진 곡선 2

우리가 일상생활에서 사용하는 곡선이라는 의미는 수학적으로 적당하지 않으므로 수학적으로 곡선을 엄밀하게 정의하여야 할 필요가 있다.(주. 수학적 모델링) 무엇이 곡선일까?

프렉탈 도형은 곡선인가?

정의.((매개변수화된(parametrized)) 곡선(curve)) 집합 곡선 s.t.

즉, 연속함수 의 상(image)으로 주어지는 집합 을 에 놓인 곡선(curve)이라 한다.

주. 매개변수화된 곡선(parametrized curve)이라 부른다. 우리는 앞으로 매개변수화된 곡선을 곡선이라 부르자.

문제점. 곡선의 길이 호길이(arc-length) 등호는 곡선이 일대일 인 경우 성립.

예. 곡선 은 정칙곡선이다. 그러나 이 곡선의 길이는

이다.

주. 매개변수화된 곡선과 곡선의 자국(trace)

예1.(꽈배기선(원기둥나선, helix)) 매개변수화된 곡선 ,

의 자국(trace)은 원기둥 에 놓인 꽈배기선으로 경사도(pitch)는 이다. 여기서 매개변수 는 점 를 평면에 사영(투영, projection)시킨 점과 원점을 연결한 선분이 축과 이루는 각을 의미한다.

(그림)

예2. 사상 , 은 아래 그림과 같은 자국을 갖는 매개변수화된 미분가능한 곡선이다.

(그림)

이 곡선의 인 점에서의 속도벡터 임을 주목하여라.

예2. 사상 , 은 아래 그림과 같은 자국을 갖는 매개변수화된 미분가능한 곡선이다.

(그림) 이 사상은 이므로 일대일 대응이 아님을 주목하여라.

예4. 사상 , 은 아래 그림과 같은 자국을 갖는 매개변수화된 곡선으로 에서 미분가능하지 않다.

(그림)

예5. 다음의 두 매개변수화된 곡선

모두 단위원 을 자국으로 갖는 매개변수화된 곡선이다. 곡선 의 속도벡터는 곡선 의 속도벡터의 2배가 됨을 주목하여라.

연 습 문 제

1. 타원 을 자국으로 갖는 매개변수화된 곡선 으로 점 에서 출발하여 시계반대방향으로 돌아가는 것을 구하여라.

2. 매개변수화된 곡선 가 원점을 지나지 않는다 하자. 점 가 의 자국에 놓인 점 중에서 원점과 가장 가까운 점이라 하고 이라 하면, 위치벡터 은 항상 속도벡터 과 수직임을 보여라.

3. 매개변수화된 곡선 가 조건 ‘’을 만족한다 하자. 이 때 곡선 에 대하여 무엇을 말할 수 있는가?

4. 사상 을 매개변수화된 곡선이라 하고 을 고정된 벡터라 하자. 모든 실수 에 대하여 가 벡터 와 수직이고, 역시 와 수직이라 하자. 이 때 모든 실수 에 대하여 가 벡터 와 수직임을 보여라.

5. 사상 을 매개변수화된 곡선이라 하고 모든 실수 에 대하여 이라 하자. 이 때, 다음이 성립함을 보여라.

는 0이 아닌 상수이다.

그런데 이와 같이 그림으로 주어진 곡선에 대하여는 그 곡선에 대한 여러 가지 수학적 문제들을 다루기가 쉽지 않다. 예를 들어 휘어진 곡선 1의 길이를 구하여라. 라는 문제를 어떻게 다룰 수 있을까?

이 의미의 곡선을 기하적 곡선(geometric curve)이라 하자.

주제2. 곡선을 매개변수방정식으로 표현하는 방법은?

주제3. 동점(moving point?)의 움직임으로서 매개변수 표현: 그릴 수 있는 곡선(?), 속도와 가속도

질문. 의 그래프는 그릴 수 있는 곡선인가?

답. 아니다... 쩝.

2-3 정칙곡선; 호길이

사상 를 매개변수화된 미분가능한 곡선이라 하면 인 각각의 에 대하여 점 와 벡터 를 포함하는 잘 정의된 직선이 존재한다. 이 직선을 시간 에서 에 접하는 접선이라 부른다. 어떤 곡선의 미분기하에 관한 연구를 위하여, 모든 점에서 접선의 존재가 필수적이다. 따라서 속도벡터가 0이 되는 점을 특이점이라 부르고 앞으로 특이점을 가지지 않는 곡선에 대하여만 알아보기로 한다.

정의.(정칙곡선(regular curve)) 매개변수화된 곡선 이 조건

을 만족할 때, 이 곡선을 정칙곡선이라 부른다.

연습문제

1. 정칙곡선 의 각 점에서의 접선은 직선 와 일정한 각을 이룸을 보여라.

2. 평면 위에 있는 반지름 1인 원판(circular disk)이 미끌어짐 없이 축을 따라 굴러간다 하자. 이 때 원 위의 한 점이 이루는 자취를 싸이클로이드(cycloid)라 부른다.

(그림)

a. 싸이클로이드를 자국으로 갖는 매개변수화된 곡선이 식을 구하고, 특이점을 결정하여라.

b. 원판이 한 바퀴 회전하였을 때 싸이클로이드의 길이를 구하여라.

주. 트로이코이드/에피싸이클로이드/하이포싸이클로이드 일직선 위를 한 원이 미끄러지지 않고 굴러갈 때 이 원의 중심을 지나는 직선 위의 고정된 한 점이 그리는 자취를 트로코이드라 한다. 예컨대, 기차의 바퀴가 레일 위를 굴러갈 때 레일에 접하는 위의 점은 사이클로이드를 그리고, 바퀴의 기타 점은 트로코이드를 그린다. 또한, 직선 대신에 한 원의 둘레를 또 하나의 원이 굴러서 회전할 때를 생각할 수 있다. 이때, 한 원의 바깥쪽을 또 하나의 원이 굴러 회전할 때 그 원주상의 한 점이 그리는 곡선을 에피싸이클로이드(epicycloid)라 하고, 한 원의 안쪽을 또 하나의 원이 굴러 회전할 때 그 원주상의 한 점이 그리는 곡선을 하이포싸이클로이드(hypocycloid)라 한다.

3. (디오클레스의 시소이드(cissoid of Diocles) ) 질주선(疾走, 시소이드)은 다음과 같이 얻어지는 곡선을 말한다.

지름을 를 갖는 원에 대하여 점 를 지나는 임의의 반직선이 이 원과 만나는 점을 , 점 에서의 원의 접선과 만나는 점을 이라 할 때, 선분 위에 이 되도록 잡은 점 의 자취를 말한다.

점 를 원점, 를 축으로 하면, 이 곡선의 방정식은 와 같은 꼴이 되는 데 일반적으로 를 3차 이하인 다항식으로 할 때, 방정식 로 표현되는 곡선이 시소이드이다.

a. 곡선 , 의 자국이 디오클레스의 시소이드가 됨을 보여라. (여기서 는 아래 그림의 을 의미한다.)

b. 원점 은 시소이드의 특이점임을 보여라.

c. 가 로 발산함에 따라 점 는 직선 로 접근하고 는 로 수렴함을 보여라. (이 결과에 의하면 일 대, 곡선(그리고 접선)이 직선 로 수렴하게 되므로 직선 를 시소이드의 점근선이 된다.)

(그림)

주.

In , a cissoid is a curve generated from two given curves C1, C2 and a point O (the pole). Let L be a variable line passing through O and intersecting C1 at P1 and C2 at P2. Let P be the point on L so that OP = P1P2. (There are actually two such points but P is chosen so that P is in the same direction from O as P2 is from P1.) Then the locus of such points P is defined to be the cissoid of the curves C1, C2 relative to O.

(재미있음.)

4. 곡선 가 관계식

로 주어져 있다.(단, 여기서 는 속도벡터 가 축과 이루는 각이다.) 이 곡선의 자국을 추적선(追跡線 또는 호곡선(弧曲線)), tractrix)이라 부른다.(그림)

a. 가 미분가능한 매개변수화된 곡선임을 보이고 를 제외하고는 정칙임을 보여라.

b. 추적선의 점 와 점 에서 그은 접선과 축과의 교점사이의 거리는 1로 일정함을 보여라.

5. 사상 , 에 대하여 다음 물음에 답하여라.

a. 인 경우 는 축에 접함을 보여라.

b. 일 때, 이고 임을 보여라.

c. 주어진 곡선을 반대방향이 되도록 택하라. 그리고, 일 때, 곡선과 곡선의 접선이 직선 에 수렴함을 보여라.

곡선 의 자국을 완전히 그린 곡선은 직선 에 대하여 대칭이 도며 이 곡선을 데카르트의 정엽선(正葉線)(folium of Descartes)이라 부른다.(그림)

d. 정엽선은 대수곡선이다. 즉 를 소거하면 로 주어진다.

6. 두 상수 , 에 대하여 매개화된 곡선 , 을 생각하자.

a. 일 때, 는 원점주위를 회전하면서 원점으로 수렴해 들어감을 보여라.(이러한 이유로 의 자국을 로그나선(logarithmic spiral)이라 부른다.

b. 일 때 속도벡터 는 벡터 으로 수렴함을 보이고, 는 유한함을 보여라. (즉, 는 유한한 호길이를 갖는다.)

(그림)

7. 매개변수화된 곡선 의 각 성분함수가 번 미분가능하고 차 도함수가 연속이 될 때, 를 류(class)에 속하는 곡선이라 부른다. 의 각 성분함수가 연속일 때는 류에 속한다고 한다. 1대1일 곡선을 단순곡선(simple curve)이라 부른다.

가 에 속하는 단순곡선이라 하자. 곡선 가 에서 약한 접선(weak tangent)을 갖는다함은 인 경우 두 점 , 을 지나는 직선이 극한을 가짐을 말한다. 곡선 가 에서 강한 접선(strong tangent)을 갖는다함은 인 경우 두 점 , 을 지나는 직선이 극한을 가짐을 말한다. 다음을 증명하여라.

a. 곡선 , 은 일 때 약한 접선을 갖지만 강한 접선을 갖지 않음을 보여라.

b. 류에 속하는 곡선 이 일 때 정칙이라면, 에서 강한 접선을 가짐을 보여라.

c. 곡선 은 류에 속하지만 류에는 속하지 않음을 보여라. 이 곡선을 대략 그려보고 각 점에서 접벡터를 그려보아라.

8. 을 미분가능한 곡선이라 하고 폐구간 를 생각하자. 폐구간 의 임의의 분할 ,

;

에 대하여 을 생각한다. 분할 의 노름(norm) 은

으로 정의한다.

기하적으로 은 에 놓인 각 점 들을 연결하여 얻은 내접다각형의 길이를 의미한다.

(그림)

이 문제의 촛점은 의 호길이가 내접다각형(inscribed polygon)의 길이들의 극한과 같음을 증명하는 것이다. 즉, 임의의 양수 에 대하여 적당한 양수 가 존재하여 인 모든 분할 에 대하여 이 성립함을 보여라.

9. a. 곡선 가 류라 하자. 문제 8에서 소개한 내접다각형을 이용한 근사를 사용하여 곡선 의 호길이의 타당한 정의를 제시하여 보아라.

b. (길이를 가할 수 없는 곡선) 다음의 예는 곡선의 호길이가 유계가 아닐 수 있음을 보여준다. 곡선 , 를 생각하자. 이 곡선의 인 부분에 해당하는 호길이는 적어도 보다 크거나 같음을 증명하여라. 또한 이 결과를 이용하여 인 구간에 대한 호길이가 보다 커지며 따라서 일 때, 무한히 커짐을 증명하여라.

10.(직선은 길이가 가장 짧은 곡선이다.) 을 매개변수화된 곡선이라 하자. 폐구간 에 대하여 , 라 하자.

a. 임의의 단위벡터 에 대하여 관계식

이 성립함을 보여라.

b. 위의 관계식에서 벡터 를 이라 놓고 관계식

가 성립함을 보여라.

이 부등식은 두 점 , 를 연결하는 여러 곡선들 중에서 직선의 거리가 가장 짧음을 말해주고 있다.

2-4 에서의 벡터곱(외적, cross product) 1장으로 이동

2-5 호길이 함수로 재매개화된 곡선의 국소이론

보통 우리가 곡선을 말하면 사람들은 아래의 그림과 같은 모양을 떠올리게 된다. 이 의미의 곡선을 기하적 곡선(geometric curve)이라 하자.

그림1. 휘어진 곡선 그림2. 삼각형 그림3. 사각형

그림의 곡선위의 각 점 에서 곡선이 어떻게 또는 얼마나 휘어져 있는가하는 질문에 대하여 대답해 보자. 삼각형이나 사각형과 같은 다각형의 경우

"각 변위의 점에 대하여는 ‘휘지 않았다. 변은 직선이고 직선의 정의는 휘지 않은 곡선이니까 ^^ "

와 같이 대답할 것이다. 그러면 각 꼭짓점에 대하여는 어떻게 답하게 될까? 대부분의 경우 ‘꼭짓점에서의 내각이 몇 도이다.’와 같이 답하게 되는데 내각의 크기는 휜 정도를 말해주기는 어렵다. 내각의 크기가 휜 정도를 말해주지 못함은 뒤에 매끄러운 곡선의 각 점에서의 휨 정도를 정의하고 나면 그 이유를 알게 될 것이다.

주제1. 휨이란 무엇인가? 휘어진 정도는 어떻게 측정할까?

우리가 어떤 개념을 정립할 때 기본적으로 지켜야 하는 것은 과거 이야기 했던 것을 모두 수용할 수 있어야 한다는 점이다. 유클리드 평면 또는 3차원 유클리드 공간 에 놓인 곡선에 대하여 휘어진 정도를 정함에 있어서 지켜야 할 사실들은 다음과 같다.

첫째, 직선은 휘지 않았다.

둘째, 원은 모든 점에서 같은 정도로 휘어져 있다.

셋째, 원의 휘어진 정도는 반지름에 반비례한다.

(에구... 곡면위의 곡선의 경우 직선에 해당하는 측지선의 곡률은? 0이 아님... 쩝. 또한 곡면위에서의 원(내재적 기하학)에서는 원은 대칭적인 도형이 아니므로 각 점마다 휨의 정도 역시 달라짐...에구...어쩌나...)

주제4. 평면곡선의 휘어진 정도: 곡률

곡선 가 호길이 함수로 매개화된 곡선이라 하자. 는 단위길이를 갖는 접벡터이므로 가속도 벡터의 크기 는 접선의 각의 변화를 의미한다. 따라서 는 곡선이 접선으로 부터 얼마나 빨리 벋어나는 가를 측정해주는 량을 제공하게 되므로 우리는 다음의 정의를 얻게 된다.

정의. 곡선 가 호길이 함수로 재매개화되었다 하자. 이 때 를 곡선 의 (에서의) 곡률(curvature)이라 부른다.

만약

2-6 평면곡선의 대역적 성질

3장. 정칙 곡면(Regular Surface)

4장. 가우스 사상의 기하학(The Geometry of Gauss map)

5장. 곡면의 내재적 기하학(The Intrinsic Geometry of Surface)

6장. 대역 미분기하학(Global Differential Geometry)