2강

9월 5일 (월)

곡률과 비틀림의 계산

(단위속력 곡선에 대한 프레네정리) 임의 속력곡선의 곡률과 비틀림 곡률과 비틀림의 의미

차 시 계 획
2주	09.05~09.09	에 놓인 곡선의 기하학
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 성질	1차 퀴즈
3주	09.12~09.16	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시		추석연휴
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 의미	1차 보고서

(지난시간 못 다한 이야기: 프레네 곡률)

2. 프레네 이론

단위 속력을 갖는 정칙곡선 , 에 대하여 먼저 이론을 전개한다.

곡선을 따라 움직이는 틀장(moving frame)을 생각하자.(프레네 틀장)

, 단위 접벡터장(tangent vector field)

, 단위 법벡터장(nomal vector field)

, 단위 양법벡터장(binomal vector field)

주. 이러한 틀장을 생각하기 위해서는 곡률이 모든 점에서 0이 아니라는 조건이 필요하다.

정리.(프레네-세레 공식) 곡률이 0이 아닌 단위속력곡선에 대하여 다음이 성립한다.

증명. 는 각 점 이므로 에서 접공간 의 기저를 이루므로,

이라 놓을 수 있다.

각 계수함수 를 구하자. (주. 접공간 은 점 을 시점으로하는 의 벡터들을 모두 모아 놓은 집합으로 3차원 벡터공간구조를 가지고 있다.)

먼저 다음 사실에 주목하자.

1) 는 정규직교이므로(즉, 서로 수직이고 길이는 1) 계수들이 이루는 행렬 는 왜대칭행렬(교대행렬, skew-symmetric matrix)이다. 즉, 이 성립한다. ( )

2) 왜대칭행렬의 모든 대각원은 0이다.

따라서 ,

이다. 한편 정의에 의하여

이므로 , 위 식은 다시

로 변형된다. 이제 라 두면, 원하는 공식을 얻을 수 있다. ■

예제.(꽈배기선(herix)) 곡선 의 각 점에서의 프레네 틀장, 곡률과 비틀림을 구하여라.

예제. 기하적인 곡선의 곡률을 구하는 문제.

타원 위의 점 과 에서의 곡률을 구하여라.

주1. 틀을 한 번에 보는 방법: 자세행렬(attitude matrix)

주2. 접촉평면(osculating plane): 으로 만들어 지는 평면

법평면(normal plane): 로 만들어 지는 평면

전직평면(rectifying plane): 로 만들어 지는 평면

3. 곡률과 비틀림의 계산(임의 속력곡선에 대한 공식)

앞 절의 곡률과 비틀림은 단위속력곡선에 대한 것이다. 그러나 임의의 기하적 곡선에 대하여 단위속력곡선으로 재 매개화하는 과정은 매우 힘들며 사실상 거의 불가능하다. 따라서 임의속력을 갖는 곡선에 대하여 곡률과 비틀림에 대한 계산법을 알아두는 것이 중요하다. 다음은 반드시 기억해 두어야 할 공식이다.

정리. (곡률이 0이 되지 않는)정칙곡선 , 의 곡률과 비틀림은 , 이다.

예. 곡선 의 점 에서의 곡률과 비틀림을 구하여라.

주1. 삼중적

이다. 따라서 벡터의 순서를 한 번 바꾸면 부호차이가 난다.

주2. 임의 속력곡선의

, ,

( 이므로 , 이다. 따라서

)

주3. 곡률과 비틀림의 기하적 의미.

정리. 모든 점에서 곡률이 0인 곡선은 직선이다.

정리. 곡률이 상수함수인 곡선은 구면위에 있다.

정리. (곡률이 0이 아닌) 정칙곡선이 항등적으로 0인 비틀림을 갖는다면, 평면곡선이다.

주4. (매개변수 변환에 따른 곡률과 비틀림의 변화)

다음시간에 할 내용.

증명.