3강

9월 14일 (수)

곡률과 비틀림의 성질

(단위속력 곡선에 대한 프레네정리) 임의 속력곡선의 곡률과 비틀림 곡률과 비틀림의 성질

차 시 계 획
3주	09.12~09.16	에 놓인 곡선의 기하학
월	6,7교시		추석연휴
수	7,8교시	곡률과 비틀림의 의미	1차 보고서

정리. (곡률이 0이 되지 않는)정칙곡선 , 의 곡률과 비틀림은 , 이다.

지금부터 약속: 곡선 = 정칙곡선

주1. 재매개화 의 곡률과 비틀림

1) (, 는 상수)인 경우; 변화 없다.

( 위 공식에 대입해 보면,

)

2) 의 곡률과 비틀림의 경우도 비슷하다.

문제. 정칙곡선 에 대하여 재매개화곡선 을 생각하자 일 때의 와 의 곡률과 비틀림은?

주2. 합동변환에 따른 곡률과 비틀림의 변화: , : 직교행렬,

주2-1. (의 합동변환)은 , , 직교행렬로 주어진다.

정의. (의) 합동변환

정리. 1) 의 합동변환은 , , 직교행렬로 주어진다. 2) 합동변환 전체의 모임 은 군을 이룬다.

증명. (1)의 증명

먼저 이라 가정한다. 가정에 의하여 는 노름을 보존한다. 즉, 이다. 준식 의 양변을 제곱하여 정리하면 을 얻는다. 즉, 내적을 보존함을 알 수 있다. 따라서 를 의 정규직교기저라 하면 역시 정규직교기저가 된다. 따라서 임의의 벡터 에 대하여

(*)

이 성립한다. 준식 (*)로 부터 가 선형사상임을 쉽게 확인 할 수 있다. 이제, 라 두면 이므로 즉, 가 직교행렬임을 알 수 있다. ■

주2-2. 직교행렬의 이해

: 직교행렬 행렬 의 각 행(또는 열)이 정규직교

: 직교행렬

◎ 인 경우: (적당한 기저에 대하여) 와 같이 주어진다. 즉, 변환 는 적당한 직선을 회전축으로 갖는 회전변환이다.

◎ 인 경우: (적당한 기저에 대하여) 와 같이 주어진다. 즉, 변환 는 적당한 직선을 회전축으로 갖는 회전변환과 (평면에 대한) 반사를 합성한 사상이다.

문제. 정칙곡선 에 대하여 새로운 곡선 을 생각하자. 와 의 곡률과 비틀림을 비교하여라.

정리. : 직선

증명. 단위속력곡선 , 에 대하여 서술하면 충분하다. 가정에 의하여 이므로 이 성립한다. 따라서 의 모든 성분함수는 일차함수이므로 는 직선이다. ■

정리. : 평면곡선

증명. ()

양변을 한번, 두 번 미분하면 ,

따라서 이므로 이다.

() 라 두고 가 항등적으로 0임을 보인다. ■

정리. : 원 위를 움직이는 곡선 ,

증명.

■