4강

9월 19일 (월)

곡률과 비틀림의 이해

곡률과 비틀림의 이해

차 시 계 획
4주	09.19~09.23	에 놓인 곡면의 기하학
월	6,7교시	곡률과 비틀림의 의미	2차 퀴즈
수	7,8교시	다변수 함수론 review, 정칙곡면의 정의(좌표조각)
(보강)		정칙곡면의 정의

정리. (곡률이 0이 되지 않는)정칙곡선 , 의 곡률과 비틀림은 , 이다.

복습.

1) 재 매개화에 따른 곡률과 비틀림의 변화는 없다.

2) 합동변환에 따른 곡률과 비틀림의 변화는, 곡률인 경우 변화가 없고 비틀림은 반사되었을 경우 부호가 바뀐다.

3) 합동변환과 등장사상의 차이

4) 행렬식의 성질과 직교행렬의 성질

5) 곡률과 비틀림과 관련된 정리들;

정리. 직선

정리. 평면곡선

정리. 원 위를 움직이는 곡선 ,

정리. : 반지름 인 구면 위를 움직이는 곡선

증명. 를 중심이 이고 반지름 인 구면위의 곡선이라 하자. 그러면 관계식 이 성립한다. 양변을 미분하면 이고 다시 한 번 미분하면 즉, 이므로 (양변에 노름을 취하여 정리하면) 이 성립한다. ■

정리(공간곡선의 기본정리). 두 연속인 실함수 에 대하여, 를 곡률과 비틀림으로 갖는 곡선이 (유일하게) 존재한다.

증명. (존재성)

, , 라 두고 일계연립미분방정식

을 생각하자. 미분방정식의 해의 존재성 정리에 의하여 주어진 초기조건

, , ,을 갖는 해가 유일하게 존재한다. , , 을 얻는다.

같은 방법으로 .....

■

주. 위 정리에서 유일성은 합동인 곡선을 같은 것으로 보았음을 의미한다.

정의. : (주면)나선 직선 s.t.

정리. : (주면)나선 ,

증명.

■

주4.

곡선 의 각 점 에서 다음과 같은 세 개의 평면을 생각할 수 있다.

접촉평면(osculating plane): 으로 만들어 지는 평면

법평면(normal plane): 로 만들어 지는 평면

전직평면(rectifying plane): 로 만들어 지는 평면

이들 평면의 식은 각각

평 면	방정식	매개변수식
접촉평면
법 평 면
전직평면

으로 주어진다.

평면곡선의 곡률은 과 같다. 이 결과는 3차원 공간곡선에서는 어떻게 될까?

공간곡선의 경우도 접촉원(tangent circle)을 생각할 수 있다. 즉 한 점 를 고정하고 두 점 을 로 수렴시키면서 세 점 을 지나는 원 의 극한을 생각하면 수렴하게 되고(!) 그 극한원이 점 에서의 접촉원이다. 그러면 이 접촉원과 곡선의 곡률과 비틀림은 어떻게 관련지어 질까?

정리. 접촉원은 존재하고 그 점에서 곡률은 접촉원의 반지름의 역수이다.

세 점 을 지나는 삼각형은 에 수직인 평면위에 놓여 있다.

에 놓여있다. 일 때 이 평면은 에 수직인 평면으로 수렴한다.

주. 곡선을 함수의 그래프로 생각하면, ...