5강

9월 21일 (수)

정칙곡면의 정의

좌표조각, 매개곡면, 접평면, 정칙이 아닌 곡면, 가정 “에 놓인.. ”의 의미

차 시 계 획
수	7,8교시	정칙곡면의 정의
5주	09.26~09.30	에 놓인 곡면의 기하학
월	6,7교시	정칙곡면의 예(평면, 구면, 꽈배기면, 현수면, 이차곡면 등)	3차 퀴즈

물음. 지금까지 에 놓인 곡선의 기하학에 대하여 알아보았다. 즉 에 놓인 곡선의 각 점에서의 모습을 기술하기 위하여 개발된 방법(움직이는 틀장, 곡률, 비틀림)을 살펴보았으며, 그 결과 찾아낸 두 주요 스칼라인 곡률과 비틀림과 곡선의 모습과의 관계 등을 살펴보았다.

이제 연구의 범위를 곡면으로 확장하고자 한다. 곡면을 연구하고자 할 때 첫 번째 과제는 곡선에서 정칙곡선의 개념을 도입하였던 것과 같이 곡면에서도 주어진 곡면을 식으로 표현하는 과정이 필요할 것이다. 아래의 표를 살펴보자.

곡선의 표현과 곡면의 표현의 비교

	직선	평면
대수방정식 표현
매개변수 표현

	평면의 원	구면
대수방정식 표현
매개변수 표현

주1. 곡면의 매개변수 표현은 또는 의 열린부분집합 에서 로의 사상

으로 표현된다.(즉, 다변수 벡터함수!) 여기서 를 열린집합으로 제한한 이유는 우리가 의 미분가능성을 원하기 때문이다.

주2. 이 경우 매개변수 표현에 대하여 1대1, 전사, 미분가능, 정칙(?)등의 모든 조건을 만족하는 매개변수 표현은 구할 수 없다. 이는 위상수학의 다음 정리에 따른다.

정리. 연속함수는 긴밀집합을 긴밀집합으로 보낸다.

따라서 매개변수 표현에서 일정부분은 포기하여야 하는데, 무엇을 포기하는 것이 좋을까?

사람들이 택한 답은 ‘전사성(ontoness)'을 포기하는 것이다. 즉, 주어진 곡선 또는 곡면을 하나의 매개변수 식으로 완전히 표현하는 것을 포기한 것이다.

	평면의 포물선	포물면(포물선을 회전 시켜 얻은 면)
대수방정식 표현
매개변수 표현

주. 포물선과 포물면의 매개변수 식은 “ 포물선과 포물면은 각각 적당한 함수의 그래프로 표현된다”라는 성질에 착안하여 얻은 것이다. 이를 확장하면 다음을 얻을 수 있다.

정리(?) 이변수 함수 의 그래프로 주어진 곡면은 매개변수를 이용하여

으로 표현할 수 있다.

물음. 이변수 함수의 그래프를 적당히 회전 시켜 얻은 곡선의 매개변수 식은 어떻게 구할까?

물음. 함수가 에서 , 와 같이 바뀌면 어떻게 될까?

	평면의 쌍곡선	쌍곡면(쌍곡선을 회전시켜 얻은 면)
대수방정식 표현
매개변수 표현

주. 쌍곡면 역시 적당한 이변수 함수의 그래프로 생각할 수 있다. 그러나 쌍곡면을 얻을 때는 축을 회전축으로 회전시키는 것이 보다 편리하며, 이 경우는 이변수 함수 의 그래프로 표현되지 않는다. 그러면 쌍곡면의 매개변수 표현은 어떻게 얻었을까? 관찰의 주안점은 쌍곡면이 회전면이라는 사실이다. 즉, 쌍곡면은 곡선 을 축을 회전축으로 회전시켜 얻은 곡면이므로 매개변수 표현은 와 같이 나타난다. 보다 일반적으로 다음을 알 수 있다.

정리(?) 곡선 을 축을 회전축으로 회전시켜 얻은 곡면은

와 같은 매개변수 표현으로 나타낼 수 있다.

물음. 회전축이 달라지면 어떻게 되는가?

물음. 회전시키는 곡선에 대하여 조건 ‘’이 없으면 어떻게 될까?

위의 예들은 다소 간단한 예이나 곡면은 보다 복잡한 형태를 지닐 수 있다. 예들 들어 원환면을 생각할 수 있다.

원환면(torus)

이중 원환면(double torus)

주. 다음 사이트는 원환면과 이중원환면에 대한 내용을 담고 있다. 한 번 방문해 보기 바란다. http://blog.naver.com/numberplay?Redirect=Log&logNo=110038483126

앞에서 우리는 주어진 몇 몇 곡면을 식으로 표현하여 보았다.(사실 곡선론에서의 경험을 살려 미분가능하고 1대1인 함수의 식으로 표현하였다.) 그러면 조금 더 나아가 보자.

곡선에서 정칙성은 주어진 곡선이 각 점에서 접선을 갖는 다는 것을 보장 받기 위하여 설정하였다. 곡면의 경우는 이를 어떻게 해결할 수 있을까? 먼저 다음 관찰해 보자.

(그림)

주어진 곡면 의 매개변수 표현을

라 하자. 이 때, 각 점 을 지나면서 축과 축에 나란한 직선에 를 제한하면 두 곡선

,

이 얻어진다.(이들을 각각 매개곡선이라 부른다.) 두 곡선 의 점 , 에서의 속도벡터 는 점 에서 곡면 에 접하는 접벡터이다. 따라서 두 벡터

가 일차독립이라면 은 점 에서 접평면(tangent plane)을 갖게 될 것이다.

주. 이때 접평면의 방정식은

,

로 주어진다. (기억해 둘 것!)

이상의 관찰에 따라 다음과 같은 정의를 얻는다.

정의. (정칙곡면의 좌표조각) (의 곡면 에 대하여) 집합 에 대하여 사상 이 두 조건 1) 즉, 는 에서 얼마든지 미분가능하고 .....(에휴...) 2) 모든 에서 는 일차독립, 즉 를 만족할 때 를 (급) 정칙매개변수표현이라 부른다.

주. 행렬 을 다변수 벡터함수 의 야코비(Jacobi)행렬이라 부른다. 이 때 다변수벡터함수 의 (점 에서의) 미분에 대응하는 선형변환 은

이다. 즉,

“ 의 미분이 각 점 에서 의 접벡터 를

의 접벡터

로 보냄을 의미한다.

이 행렬 의 두 열벡터는 각각 의 편도함수(?) 임에 유의하여라.

문제. 주면(cylinder)의 정칙인 매개변수표현을 제시하여라. (답. )