6강

9월 28일 (수)

정칙곡면의 예 (regular surface)

음함수, 회전면, 기둥면, 직선곡면 등

차 시 계 획
수	7,8교시	정칙곡면의 예(음함수, 회전면, 기둥면, 직선곡면 등)
6주	10.03~10.07	곡면 기하학을 위한 준비: 미적분학
월	6,7교시		개천절

지난 시간에 여러 곡면(평면, 구면, 포물면, 쌍곡면, 원환면 등)에 대하여 그들을 좌표조각을 이용하여 표현하는 방법을 알아보았다. 실제 우리가 앞으로 다루게 될 곡면들의 유형을 분류하면 대략 다음과 같다.

1) 미분가능한 이변수 함수 의 그래프

2) 회전면;

3) 음함수로 표현된 곡면:

4) 직선곡면

5) 이차곡면: 이차식의 해집합으로 표현된 곡면으로 3)의 특별한 경우이나 이차곡면이 자체로 갖는 의미에 의하여 중요하게 다루어진다.

위의 각각의 경우 그들이 언제 정칙곡면이 되며, 그들의 좌표조각은 어떻게 주어질 수 있는 지 알아보기로 한다.

1. 이변수 함수의 그래프

미분가능한 이변수 함수 에 대하여 의 그래프

는 정칙곡면이다. 의 경우 하나의 좌표조각

에 의하여 완전히 표현된다.(위와 같은 하나의 좌표조각이 곡면 전체를 표현할 수 있을 때 이러한 좌표조각을 몽쥐(Monge)조각이라 부른다.)

주. 가 좌표조각임을 보이기 위하여

1. 미분가능, 2. 1대1, 3. 정칙 (4. 연속)

을 만족함을 보여야 한다. 이중 정칙성은

, 가 항상 일차독립이므로 만족된다.

2. 회전면

평면위의 정칙곡선 , 를 축을 회전축으로 회전시키면 회전면 이 얻어진다. 이 회전면의 좌표조각은

로 주어진다.

주. 위의 좌표조각이 정칙이려면 회전시키는 곡선이 정칙이여야 한다.

문제. 위의 사상이 회전면의 좌표조각이 됨을 보여라.

3. 음함수의 해 집합

음함수의 해 집합 의 경우 항상 곡면이 되는 것은 아니다. 음함수의 해집합의 경우 다음 정리가 중요하다.

정리. 집합 이 곡면

증명. 음함수 정리를 이용한다. ■

주0.(음함수정리(Implicit function theorem)) 인 경우 적당한 함수 가 존재하여,

을 만족한다. 즉, 집합 은 국소적으로 함수 의 그래프로 표현된다. 즉,

와 같이 표현된다.

(역함수정리(inverse function theorem)) 벡터함수

가 점 에서 이면, 점 의 근방에서 미분 가능한 역사상 을 갖는다. 즉, 점 의 적당한 근방에서 와 같이 표현된다.

주1.

주2. 임의의 에 대하여 벡터 는 에 수직인 벡터이다.

4. 직선곡면(ruled surface)

쌍곡면 를 매개변수로 표현하면

로 표현되므로 이중직선곡면이다. 즉, 쌍곡면은 각 점에서 두개의 직선을 포함하고 있다.

문제. 주면(cylinder)의 정칙인 매개변수표현을 제시하여라. (답. )

예. 꽈배기면

예. 구면의 좌표조각

1. 지리적 조각

2. 입체사영(stereographic projection)

구면의 일부분 에서 평면으로의 사상; 점 를 북극점 에서 출발하여 점 를 지나는 반직선이 평면 과 만나는 점 으로 보내는 사상

주. 입체사영은 각을 보존하는 사상이나 면적은 보존하지 않는다.

3. cylindrical projection

구면의 일부분 에서 평면으로의 사상; 점 를 축에 수직으로 출발하여 점 를 지나는 반직선이 원기둥면 과 만나는 점 으로 보내는 사상

주1. 이 사상은 면적을 보존하나 각을 보존하지 않는다. 이 사상을 변형시켜(원기둥면을 펼친 후(평면) 축으로 확대시켜) 각을 보존하도록 만든 것이 세계지도의 작성법중 하나인 메카트로 도법이다.

주2. 면적과 각을 동시에 보존하는 사상은 등장사상이다.