9강

10월 24일 (월)

형작용소의 성질 (Shape Operator)

형작용소의 성질

에 놓인 곡면의 형작용소의 성질을 알아보자.

정의(형작용소, 모양연산자(shape operator) 를 곡면 의 단위법벡터장이라 하자. 이 때 사상 , (단, 여기서 는 이고 를 만족하는 위의 곡선이다. ) 를 의 형작용소라 한다. (주. 형 작용소가 잘 정의되려면 곡면 이 유향곡면이어야 한다.)

정리. 형작용소 는 (공역을 으로 하였을 때) 대칭인 선형작용소이다.

증명.

1) 이므로 양변을 미분하여 을 대입하면,

이므로 성립한다.

2)

3)

정의(법절단곡선(normal section)) , 에 대하여 방향 법절단곡선은 , 는 점 를 지나고 점 에서의 법벡터 와 접벡터 을 포함하는 평면이다.

정의(법곡률(normal curvature)) , 에 대하여 방향 법곡률 은 = 방향 법 절단곡선의 곡률 로 정의한다. (단, 여기서 부호는 와 가 같을 때 +, 다를 때 -로 한다.)

정의. 배꼽점(umblic point) 모든 방향으로의 법곡률이 일치하는 점.

정리. 를 곡면 위의 점으로 배꼽점이 아니라 하자. 그러면, 점 에서 주요곡률은 서로 다르며 주요벡터 는 서로 수직이다. 또한 라 할 때 오일러 공식 이 성립한다.

증명. 를 법곡률의 최댓값이라 하고 를 법곡률이 최대가 되는 단위접벡터 즉, 이라 하자. 를 에 수직인 벡터라 하면, 임의의 단위접벡터 는

로 표현된다.

(*)

이고 는 일 때 최댓값 을 가지므로

이 성립하며 이로부터

(**)

이 성립함을 알 수 있다. 한편 (**)를 (*)에 대입하면

이므로 는 일 때 최솟값 를 가짐을 알 수 있다. 따라서 역시 주요벡터 이며, 오일러 공식

이 성립함을 알 수 있다. ■

주. 곡면 가 원점에서 평면을 접평면으로 갖는다 하자. 이때

이며

이다. 과 가 주요벡터이므로 이고 이다. 따라서

점 근방에서의 의 모양은 근사적으로 근방의 곡면 과 같다.

주. 원숭이 안장곡면

정리. 임의의 벡터 에 대하여 이다.

증명. 위 식들은 모두 선형인 식이므로 기저에 대하여 증명하면 충분하다. 과 를 접평면 의 정규직교기저라 하고

라 하자.

같은 방법으로

이 성립함을 알 수 있다. ■

주. 관계식

이 성립하므로, 위 정리에 의하여

이고

이 성립한다.

여기서 라 두고

, ,

, ,

를 이용하면

(****중요****) ,

임을 알 수 있다.

주. 이차미분형식

을 곡면의 제1 기본형식이라 한다. 이때 를 제1 기본계수라 한다.

이차미분형식

을 곡면의 제2 기본형식이라 한다. 이때 를 제2 기본계수라 한다.

주. 좌표조각 와 점 를 지나는 단위속력곡선 에서 곡률벡터(:= 곡선의 가속도 벡터)는 이고 이를 법선방향과 접하는 방향으로 분해하면 로 표현된다. 이때 을 점 에서 곡선 의 법곡률벡터(normal curvature vector)이라 하고 를 측지곡률벡터(geodesic curvature vector)이라 한다.

주. 법곡률벡터에 대하여 관계식

이 성립한다.(단, 여기서 는 곡선 방향으로의 법곡률, 는 단위법벡터장이다.)

주. 점 에서 단위속력곡선 방향으로의 법곡률 는

로 주어진다.

정리. 곡선 위의 점 에서의 곡률과 법곡률을 각각 라 하면 , () 이다.

정의. 가우스곡률이 항등적으로 0인 곡면을 편평하다하고 평균곡률이 항등적으로 0인 곡면을 최소곡면이라 한다.