◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 다음 그림은 실세계 상황을 수학적 모델로 표현하여 문제를 해결하는 수학적 모델링 과정이다.

아래에 제시된 실세계 상황과 이 상황으로부터 구성된

문제를 중학교 수준에서 해결하기 위한 수학적 모델을

2가지 제시하시오.

실세계 상황 : 철수는 생일을 맞이하여 친구 5명을 생일모임에 초대하였다. 모임에 참석한 6명이 서로 악수를 나누고 있다.

문제 : 모임에 참석한 6명이 빠지지 않고 모두 악수를 할 때 악수는 몇 번 이루어지는가?

2. [2점] 다음은 각기둥의 부피를 지도하는 과정에 대한 예비교사의 수업 설계이다.

㉠ 새롭게 학습할 내용에 관한 ‘관련 정착 아이디어’가 될 수 있는 내용(각기둥과 각뿔, 겉넓이와 부피, 다면체와 회전체 등)들을 파악하여 선수지식의 유무를 파악하고 선행조직자를 준비한다.

㉡ 각기둥의 부피를 삼각기둥의 부피로 쪼개어 구할 수 있다는 점을 이해할 수 있도록 일상생활에서 다양한 예시를 제시하여 학생의 유의미한 학습이 촉지될 수 있도록 한다.

㉢ 각기둥을 삼각기둥으로 나누는 과정에서 가장 일반적이고 조건이 적은 사각기둥에서 시작하여 꼭짓점, 모서리, 면의 개수가 늘어난 오각기둥, 육각기둥 순으로 문제를 제시한다.

㉣ 삼각기둥의 부피를 구하는 것으로부터 각기둥의 부피를 구하는 방법이 (밑넓이)×(높이)임을 일반화하는 설명을 한다. 이 때, 삼각기둥의 부피와 각기둥의 부피를 구하는 방법은 밑넓이를 구하는 방법에 따라 차이가 있음을 명확하게 설명한다.

㉢과 ㉣에서 교사가 반영한 오스벨의 유의미한 수용학습을 위한 교수전략을 각각 쓰시오.

3. [4점] 다음은 김 교사의 교수․학습 지도안에 하여 교사들이 나눈 대화이다.

김 교사가 교수․학습 지도안에서 스프레드시트를 이용한 근거를 ㉠의 구체인 내용으로 제시하시오. 그리고 브루소(G. Brousseau)의 교수학 상황론에서 ㉡을 설명할 수 있는 극단적인 교수 현상을 쓰고, 그 현상을 ㉡의 상황과 관련지어 설명하시오.

4. [3점] 다음은 폴리아(G. Polya)의 수학 문제해결 교육론에 근거해 어떤 문제를 해결하는 과정의 일부이다.

문제해결 과정에서는 수학 발견술인 분석법이 사용되고 있다. <계획 단계>와 <실행 단계>에서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지 각각 설명하시오.

5. [4점] 개념 이미지와 개념 정의의 상호작용 방식 중 직관적 반응 방식은 개념 이미지가 입력되어 개념 이미지가 출력되는 방식이다. 수열의 극한을 다룰 때 수열을 수직선 또는 좌표평면에 나타내면 학생들의 이해를 돕기도 하지만 직관적 반응 방식으로 극한에 대한 오개념이 형성되기도 한다. 아래의 내용은 고등학생 민경이가 수열의 극한값을 구하는 과정의 예시이다.

민경이의 해결과정은 개념 이미지와 개념 정의의 상호작용 방식 중 직관적 반응에 해당된다. 민경이의 문제해결 과정을 개념 이미지와 개념 정의의 상호작용에 의한 바람직한 해결과정으로 서술하시오.

6. [3점] 다음은 통계 수업에서 제시할 내용이다.

[문제] 지민이네 모둠은 우리나라 역사 인물 중 우리학교 학생들이 가장 존경하는 인물을 알아보기로 하였다. 이를 위하여 표본조사를 할 때 다음 중 누구의 방법이 가장 합리적인지 생각해봅시다.

학생 1: 역사 동아리 학생을 대상으로 조사한다.

학생 2: 신청한 학생들을 대상으로 조사한다.

학생 3: 상자에 전교생의 이름이 적힌 쪽지를 넣은 후 이 상자에서 쪽지를 뽑아 나온 명단의 학생들을 대상으로 조사한다.

[문제]의 올바른 해결 과정을 서술하고, [문제]를 해결 한 후 교사가 지도해야 하는 내용으로 올바른 표본조사 방법에 대해 설명하시오. 또한 이 수업에서 교사는 2015 개정 수학과 교육과정에서 <확률과 통계> 영역에 제시된 교수학습 유의사항 중 어느 요소를 반영하여 지도해야 하는지를 쓰시오.

7. [3점] 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다.

<주제: 진동하는 수열>

교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠.

학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다.

학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다.

학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다.

학생 1: 과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다.

학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반족하는 것이 옳을까요?

<중략>

교사: 토론을 통해서 수열 에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라 <중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.

8. [4점] 다음은 중학교 2학년 확률의 뜻을 배운 후 문제를 해결하는 과정이다.

<문제 1> 동전 2개를 던질 때 앞면이 나올 확률을 구하여라

<문제 2> 주사위를 한 번 던졌을 때, 1의 눈이 나올 확률을 구하여라

지형: 동전 2개를 던지면 모두 앞면이 나오는 경우, 앞면이 1개 나오는 경우, 모두 뒷면이 나오는 경우의 3가지가 있으므로 구하는 확률은 이야.

현정: 그럼 네 풀이 방법대로 하면 주사위를 한 번 던졌을 때, 1의 눈이 나올 확률이 무엇이라고 생하니?

지형: 당연히 주사위를 던졌을 때, 1의 눈이 나올 수도 있고 나오지 않을 수도 있기 때문에 1의 눈이 나올 확률은 이다. 어떤 사건이 일어나는 경우와 일어나지 않는 경우로 생각할 수 있기 때문이야.

현정: 지형이의 풀이는 우리가 확률의 뜻을 배울 때 선생님께 강조하였던 ‘각 경우는 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대된다.’라는 조건을 만족하지 않는 것 같아.

지형: 잘 이해가 안가... 왜 내 풀이방법이 틀렸는지 설명해 줄래?

지형이가 확률 개념에 대해 가지는 오개념을 분석하고 정육면체 주사위와 직육면체 주사위를 사용하여 지형이의 오개념을 지도할 수 있는 방안을 쓰시오.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 유클리드 공간 의 순서기저 에 대한 정규직교기저를 구하시오.

2. [2점] 의 모든 정수해를 구하시오.

3. [2점] 군 의 원소 의 위수가 15일 때 가 되는 최소 양의 정수 를 구하시오.

4. [2점] 환 위에서 환 준동형 사상의 개수를 구하시오.

1. [4점] -내적공간 위의 선형사상 의 서로 다른 고윳값 에 대응하는 고유벡터 는 1차 독립임을 보이시오.

2. [4점] 자연수 11의 배수중 2, 3, 5, 7로 나누었을 때 나머지가 각각 1인 최소양의 정수를 구하시오.

3. [4점] 다항식 는 위에서 기약임을 증명하시오.

4. [5점] 유리수 체 위의 다항식 의 분해체 를 구하고, 갈루아 군 와 동형인 군을 구하시오.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [4점] 꼭짓점이 10개인 단순 평면 그래프에서 차수가 2인 점이 2개 나머지 차수가 모두 3일 때 변의 개수 와 면의 개수 를 구하시오.

2. [3점] A 회사와 B 회사에서 생산하는 전기자동차용 배터리의 수명은 각각 정규분포 , 을 따른다고 한다. A 회사의 제품에서 개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 , B 회사의 제품에서 개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 라 할 때, 의 분산 는 이고, 이다. 상수 와 의 값을 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

3. [3점] 를 균등분포(uniform distribution) 로부터의 확률표본(random sample)이라 하고, 를 의 중앙값(median)이라 하자. 이때 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[4~5] 실수 집합 상에 다음 조건에 의해 정의되는 부분집합족 를 기저로 하는 위상 가 주어져 있을 때 위상공간 에 대해 다음 물음에 답하시오.

4. [3점] 집합 의 도집합을 구하시오.

5. [3점] 컴팩트이면서 유한집합이 아닌 가산집합의 예를 들어보시오.

6. [2점]

(기입형) 3차원 유클리드 공간 에 놓인 구

위에 단위속력곡선 이 있다. 점 에서 의 종법선벡터 와 의 법선벡터를 가 모든 에 대하여 을 만족할 때, 의 비틀림과 곡률을 구하시오. (2점)

7. [4점] (서술형) 에 놓인 곡면 은 곡선 을 축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. 위의 점 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 에서 주요 곡률을 모두 제시하시오. (2점)

(2) 점 에서 방향 법곡률 를 구하시오. (2점)

8. [3점] 에 놓인 세 곡면

,

,

위의 점 에서의 평균 곡률을 각각 이라 할 때, 을 구하시오. (3점)

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 다음 적분의 값을 구하시오.

(단, 는 보다 크지 않은 최대 정수이다.)

2. [2점] 무한급수 의 값을 구하시오. (단, 은 음이 아닌 정수이다.)

1. [4점] 연속함수 은 에서 미분가능하다. 모든 에 대하여 이고, 을 만족하는 가 존재한다고 할 때, 그러한 는 유일하게 존재함을 증명하시오.

2. [4점] 좌표평면에서 곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분을 라 하고 영역 의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 라 하자. 선적분 의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

3. [4점] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 에 대하여 라 하자. 다음 명제 를 증명하시오.

4. [4점] 복소함수 에 대하여, 집합 에서 의 최댓값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

5. [5점] 복소함수 에 대하여 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 여기서 는 복소평면에서 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.