◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 반 힐레(P. van Hiele)는 학생들의 사고 발달 및 학습 수준의 상승은 학습지도에 의해 촉진될 수 있다고 생각하였다. 이에 따라 다음과 같은 교수-학습 과정을 제시하고 있다. 이 단계들을 옳은 순서로 나열하시오. [2점]

가. 교사는 학습할 주제에 관한 학생의 선행지식이 무엇인지 파악하고 학생이 새로운 주제를 이해하도록 도움을 주고 질문을 하며 관찰을 수행한다.

나. 익숙해진 새로운 과제를 표현하는 활동을 통해 그것을 명확히 하며 관계 체계를 형성한다.

다. 학생은 교사가 제공하는 자료를 통해 교사의 안내 하에 학습 주제를 탐구하면서 해당 분야의 구조를 점진적으로 파악하게 된다.

라. 학생은 탐구 활동을 개관하여 전체를 조망하게 되어 사고 수준의 비약에 이르게 된다.

마. 학생은 보다 복잡한 과제에 도전하여 해결방법을 찾아봄으로써 자신만의 방식을 찾는 경험을 하게 되고 탐구분야에 정통하게 된다.

2. 다음은 라카토스(I. Lakatos)의 경험주의 수리철학에 대한 두 교사의 대화이다.

전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때 대응하는 방식 ㉠과 ㉡을 라카토스가 제시한 용어로 순서대로 쓰시오. [2점]

3. 다음은 중학교 2학년 수학에서 의 관계를 설명하는 내용의 일부이다.

(1) 위와 같이 무한급수의 합을 정적인 관점의 ‘결과’로 간주하여 하나의 값으로 놓게 되는 경우 모순된 결과를 가져온다. 모순된 결과에 대해 예를 들어 쓰시오. [2점]

(2) 위와 같은 모순된 결과를 얻는 이유는 무엇인지 쓰고, 모순을 극복하는 방법을 쓰시오. [4점]

4. 다음은 폴리아(G. Polya)의 수학 문제해결 교육론에 근거해 어떤 문제를 해결하는 과정의 일부이다.

문제해결 과정에서는 수학 발견술인 분석법이 사용되고 있다. <계획 단계>와 <실행 단계>에서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지 각각 설명하시오. [3점]

5. 학교수학에서는 지수법칙을 지수가 자연수인 경우에서 출발해서 정수인 경우, 유리수인 경우, 실수인 경우까지 확장한다. 다음 제시 내용을 오수벨의 유의미한 설명식 학습으로 지도하고자 한다. ‘통합적 조정의 원리’에 대해 쓰고, 이를 적용하여 아래 지도 내용을 설명하는 과정을 쓰시오. [4점]

지수의 확장(유리수인 지수)

이고 은 정수, 은 2 이상의 정수일 때,

특히,

6. 함수를 표, 그래프, 식과 같이 표현하는 방식은 수치적인 특성이 있어서 함수 관계를 형식화하는데 도움이 된다. 특히 그래프는 표와 식에 비하면 아주 정확하지는 않지만 전체적인 개관을 통해 함수의 특성을 쉽게 파악할 수 있다.

왼쪽 그림과 같이 밑변의 반지름의 길이가 같고 서로 다른 원기둥 모양의 용기가 있습니다. 이 용기에 일정한 속력으로 물을 담을 때 높이의 변화에 대해 생각해 봅시다.

그래프를 의미 있게 사용하려면 여러 가지 접근 방식의 통합이 필요하다. 위의 상황을 그래프 학습과 관련하여, 먼저 여러 가지 용기에 물을 담을 때 물의 높이의 변화를 추측하게 한다. 그 다음 대략적으로 그래프를 그려보게 한 후 어떠한 활동을 하도록 하는 것이 바람직한지 설명하시오. [3점]

7. 박 교사는 고등학교 ‘수학1’ 삼각함수 단원에서 <수업 방향>에 따라 <온라인 활동 과제>를 활용한 실시간 온라인 수업을 하려고 한다. 이에 대하여 <작성 방법>에 따라 서술하시오.

◦ 학생이 수업에 하여 가능한 한 많은 권리와 책무성을 갖도록 한다.

◦ 학생과 학생 사이에 충실한 상호작용이 일어나도록 한다.

◦ 학생이 다양한 표상을 사용하는 능력을 함양하도록 한다.

<수업 방향>

(가) 컴퓨터 기하 프로그램으로 삼각함수 그래를 그리는 방법을 복습하시오.

(나) 함수 의 그래프를 의 값을 다르게 하여 여러 개 그려보고, 함수 의 그래프는 의 값을 다르게 하여 여러 개 그려본 후 나타난 결과를 분석하여 정리하시오.

(다) 함수 (는 상수)의 그래프의 성질에 대하여 정리한 내용을 발표하시오.

박 교사의 <수업 방향>에 적합한 교수․학습 방법을 2015 개정 수학과 교육과정에서 ‘교수․학습 평가의 방향’의 ‘교수․학습 방법’에 제시된 것에서 선택하여 쓰시오.

선택한 ‘교수․학습 방법’을 적용할 때, <온라인 활동 과제>의 (다)에서 학생이 할 발표의 준비 과정과 내용을 약술하시오. [4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 3차 행렬 의 행렬식 와 역행렬 를 구하시오.

2. [2점] 부정방정식 의 모든 정수해를 구하시오.

3. [2점] 군 준동형 사상 가 을 만족할 때, 와 룰 구하시오.

4. [2점] 유클리드 정역 의 두 원소 와 의 최대공약수 를 모두 구하시오.

1. [4점] 실수체 위의 선형사상 가 을 만족할 때 를 구하시오.

2. [4점] 2가 법 59의 원시근이다. 합동식

의 정수해를 의 형태로 구하시오.

3. [4점] 위수 45인 군은 순환군임을 증명하시오.

4. [5점] 유리수체 위의 다항식 가 위에서 기약임을 보이고, 의 한 근을 라 할 때, 원소 의 곱셈 역원 을 구하시오.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [4점] 아래 그림에서 A에서 B로 가는 최단 경로 중 C를 지나는 경로의 수를 구하시오.

2. 상의 보통위상 에 대해 라 하자. 실수 집합 에서 함수 을 로 정의하자. 그리고 상의 위상을 =로 정의하자. 위상공간 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

1. 점렬 의 수렴성을 판단하시오 만일 수렴하는

경우에는 모든 수렴점을 구하시오. (2점)

2. 부분집합 의 폐포를 구하시오. (2점)

3. 확률변수 가 구간 에서 균등분포를 따른다. 확률변수 를 이라 할 때, 의 누적분포함수 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 의 확률밀도함수와 의 값을 각각 구하시오. [3점]

4. 두 확률변수 , 는 서로 독립이며 확률밀도함수는

각각

이다. 에 대하여 확률 를

구하시오. [4점]

5. 3차원 유클리드 공간 에 놓인 꽈배기면 의 좌표조각

에 대하여 점 을 지나는 -매개 곡선의 곡률과 -매개 곡선의 곡률의 합을 구하시오. (2점)

답

6. 에 놓인 곡면 은 곡선 을 축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 에서 의 접평면의 식을 구하시오. (2점)

(2) 곡선 을 회전시킨 곡면의 표면적을 구하시오. (2점)

7. 에 놓인 쌍곡면 은 모든 점에서 가우스 곡률이 0임을 보이시오. (3점)

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 의 값을 구하시오. [2점]

2. 인 실수 에 대하여

일 때, 을 구하시오. [2점]

1. 복소평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선 적분 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰 시오. [4점]

2. 자연수 에 대하여 정적분 의 값

을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

3. 복소수 에 대한 함수

가 정함수(entire function)가 되도록 하는 음의 실수

와 양의 실수 의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

(단, 는 실숫값 함수이다.) [4점]

4. 함수 에 대하여 다음 적분의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

[4점]

5. 연속함수 에 대하여,

를 만족하는 가 존재함을

증명하시오. [5점]