◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 함수와 관련한 수학사 자료를 순서 없이 제시한 것이다. (가)∼(마)를 함수 개념이 발생한 순서로 배열하시오. [2점]

(가) 고대 바빌로니아나 그리스에서 천문학을 연구했던 사람들은 태양, 달, 행성 등의 변화를 찰하여 수표를 작성하다. 이 시기 사람들은 수표를 사용하여 천체 운동을 서술하고 주기 성을 발견하다. 삼각함수의 기원을 이 시기에서 찾을 수 있다.

(나) 비에트(F. Viète)가 문자를 사용하는 방식을 발시키고 데카 르트(R. Descartes)가 해석기하학을 창안한 것에 기하여 함수를 수으로 연구하게 되었다. 라는 기호를 처음 으로 사용한 오일러(L. Euler)는 변수와 상수가 결합된 방식에 따라 함수를 분류했다. 이 시기에 이르러 독립변수와 종속변 수의 구분이 명확해졌다.

(다) 해석학을 엄하게 만들기 해 함수의 연속성과 미분가능성에 한 연구가 이루어졌다. 데데킨트(R. Dedekind), 칸토어(G. Cantor) 등이 실수의 구조를 엄하게 하여 해석학을 발시켰 다. 부르바키(Bourbaki) 학는 집합론에 기하여 ‘순서의 집합의 부분집합’이 어떤 특정한 조건을 만족할 때 그 부분집합 을 함수로 정의하다.

(라) 이 당시 학자들은 주로 운동을 나타내는 곡선을 심으로 곡 선의 선, 곡선 아래의 넓이, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직 이는 의 속도 등을 연구하다. 갈릴이(G. Galilei)는 등가 속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리와 시간의 계를 연구 하는데, 과학에서 이루어진 운동에 한 연구가 함수를 개념화하는 데 기여하다.

(마) 푸리에(Fourier) 수나 디리클(Dirichlet) 함수에 한 연구 결과로 인하여 함수 개념을 새롭게 정의할 필요성이 생겨났다. 일가성과 임의성을 가지는 응으로 함수를 정의함으로써 한 변수의 각 값에 다른 변수의 유일한 값이 응되느냐 되지 않느냐는 논리 조건에만 심을 갖게 되었다.

2. 박교사는 다항식의 곱셈과 관련하여 다음의 학습 내용을 ①에서부터 순서대로 지도하려고 한다.

① 의 전개

② 의 전개

③ 의 계산

이 때, 박 교사가 계획한 학습 내용의 지도 순서와 관련하여, 다음과 같은 박교사의 생각에 반영되어 있는 원리를 쓰시오.[2점]

저는 지식의 표현 방법도 중요하지만 그 지식의 지도 순서도 중요하다고 생각합니다. 그래서 저는 학생들에게 일반적인 개념이나 원리를 먼저 지도하고, 이 개념을 발판으로 하여 이어지는 학습 내용을 점점 특수화하고 세분화하는 형태로 지도 할 때 학생들에게 의미 충실한 학습이 될 수 있다고 생각합니다.

3. 다음에 제시된 수업 상황을 읽고 물음에 답하시오

다은이는 다음 문제를 해결하려고 애쓰고 있다.

“학교에서 집까지의 거리는 200m이고, 집에서 경찰서까지의 거리는 250m이다. 집에서 학교와 경찰서를 바라본 각의 크기가 60°일 때, 학교에서 경찰서까지의 거리를 구하여라.”

잠시 후 교사가 다가와 다음과 같이 말하였다.

“다은아, 제2코사인 법칙을 적용하면 되지 않을까?”

다은이는 교사의 이러한 발문에 힘입어 문제를 쉽게 해결했다.

폴리아(G. Polya)의 수학 문제해결 교육론의 관점에서 볼 때, 교사가 다은이에게 한 발문이 바람직한 것인지 아닌지를 판단하고, 판단의 구체적인 이유를 교사의 발문과 관련하여 두 가지 서술하시오. [3점]

4. 다음은 중학교 2학년 삼각형의 외심에 대해 다음과 같은 활동을 한 후 형식적인 정당화를 하였다. 다음 학생과 교사가 대화하는 것을 보고 다음에 답하시오.

교사: 자~ 오늘 수업을 한 다음 자신의 어려운 점이나 재미있었던 점을 같이 이야기 해 볼까?

은혜: 저는 수업시간에 탐구활동에서 종이접기로 삼각형의 외심에 대한 성질을 확인하는 과정은 재미도 있고 이해도 잘되었어요. 그리고 그 성질이 성립하는 이유를 선생님이 설명하시는 것을 보면 저도 할 수 있을 것 같았어요. 그런데 혼자서 그 성질이 성립하는 이유를 풀어보려면 어떻게 해야할지 모르겠어요.

교사: 음 그렇구나. 그럼 윤정이는 어땠니?

윤정: 저는 종이접기로 확인하면 되지 왜 다시 그 성질이 성립하는지 이유를 설명하는 문제를 풀어야 하는지 모르겠어요. 사실 평행사변형의 경우도 초등학교에서 배워서 아는데 중학교에 와서 그 성질이 성립하는 이유를 설명하더라구요.

두 학생의 엄밀한 연역적 정당화 과정에 대한 생각과 그 원인을 분석하고, 그 결과를 근거로 하여 엄밀한 연역적 정당화 학습의 개선 방안을 1가지 제시하시오.[4점]

5. 다음은 투키(J. Tukey)가 제안한 탐색 자료 분석의 을 용한 학교 3학년 통계 역 수업의 일부이다.

김 교사: 지난 시간에 우리가 사는 지역의 환경 보을 하여 탄소 배출량 이기 로젝트를 수행하기로 결정하 습니다. 로젝트의 자료를 수집하기 하여 체 학생 명 명을 상으로 설문 조사를 실시하고 수집한 자료를 다음 표와 같이 정리하습니다. 이 표를 이용하여 우리 지역 탄소 배출량 자료의 특징을 알아 시다.

학생 A: 이 표만으로는 자료의 특징을 찾기 어렵습니다.

김 교사: 어떻게 하면 자료의 특징을 알 수 있을지 함께 생각해 시다.

학생 B: 저는 평균으로 자료의 특징을 찾아보려고 합니다.

김 교사: 평균과 같은 대푯값을 구해 보는 것도 좋은 생각입니다. 이와 같이 수치로 나타내는 방법 이외에도 자료의 특징을 쉽게 파악할 수 있는 다른 방법은 ( ㉠ ).

학생 B: 평균으로 자료의 특징을 찾아보려고 표를 살펴보니 빈칸이 하나 있고 99번의 탄소 배출량은 소수점이 잘못 표시되어 있는 것 같습니다. 이런 경우에도 평균을 이용해도 될지 궁합니다.

김 교사 : 좋은 질문입니다. 이와 같이 평균을 이용하기 어려운 상황에서는 ( ㉡ ).

…(하략)…

탐색 자료 분석의 관점에서 괄호 안의 ㉠과 ㉡에 김 교사가 제시할 수 있는 지도 내용을 각각 쓰시오. 그리고 탐색 자료 분석의 관점에서 ㉠과 ㉡의 지도 내용이 적절한 이유를 서술하시오. [4점]

6. 확률적인 판단을 내릴 때 대부분의 사람들은 자신의 판단 전략을 사용한다.

확률을 배우지 않은 대학생들에게 "어떤 사람이 심장병을 앓고 있을 확률과 어떤 사람이 55세 이상이고 심장병을 앓고 있을 확률, 어느 값이 더 클 것인가?"라고 물었다. 이에 대하여 절반 이상의 학생들은 후자의 확률이 더 클 것이라고 답하였다.

위와 같은 오개념에 대해 설명하고, 이러한 오개념을 극복하기 위하여 어떻게 지도할 것인지 약술하시오.[4점]

7. 박 교사는 고등학교 ‘수학1’ 삼각함수 단원에서 <수업 방향>에 따라 <온라인 활동 과제>를 활용한 실시간 온라인 수업을 하려고 한다. 이에 대하여 <작성 방법>에 따라 서술하시오.

◦ 학생이 수업에 하여 가능한 한 많은 권리와 책무성을 갖도록 한다.

◦ 학생과 학생 사이에 충실한 상호작용이 일어나도록 한다.

◦ 학생이 다양한 표상을 사용하는 능력을 함양하도록 한다.

<수업 방향>

(가) 컴퓨터 기하 프로그램으로 삼각함수 그래를 그리는 방법을 복습하시오.

(나) 함수 의 그래프를 의 값을 다르게 하여 여러 개 그려보고, 함수 의 그래프는 의 값을 다르게 하여 여러 개 그려본 후 나타난 결과를 분석하여 정리하시오.

(다) 함수 (는 상수)의 그래프의 성질에 대하여 정리한 내용을 발표하시오.

박 교사의 <수업 방향>에 적합한 교수․학습 방법을 2015 개정 수학과 교육과정에서 ‘교수․학습 평가의 방향’의 ‘교수․학습 방법’에 제시된 것에서 선택하여 쓰시오.

선택한 ‘교수․학습 방법’을 적용할 때, <온라인 활동 과제>의 (다)에서 학생이 할 발표의 준비 과정과 내용을 약술하시오.[4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 실수체 ℝ상의 벡터공간 위에서 선형사상 이 로 주어질 때, 의 순서기저 와 의 표준기저 에 관한 행렬 를 구하시오. [2점]

2. 의 해가 존재하는지 판별하시오 [2점]

3. 군준동형사상 의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 의 원소 의 위수를 구하시오. [2점]

1. 3차 행렬 을 대각화하시오. [4점]

2. 방정식 의 해를 구하시오.(단, 은 의 원시근이다.) [4점]

3. 환준동형사상 을 모두 구하시오. [4점]

4. 체 위의 다항식 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) 의 분해체 를 구하시오. [2점]

(2) 갈로아군 와 동형인 군을 구하시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 음이 아닌 정수 에 대하여 등식

이 성립함을 보이시오. [4점]

2. 위상과 관련된 다음 각 명제의 반례를 제시하시오. [4점]

2-1. 제 2 가산성은 유전적 성질이다.

2-2. 긴밀집합은 닫힌집합이다.

2-3. 수렴하는 점열의 극한은 항상 유일하다.

2-4. 점렬연속함수는 연속함수이다.

3. 두 확률변수 와 의 결합확률질량함수(joint probability mass function)가 다음과 같다.

의 기댓값이 일 때, 의 값과 조건부확률 의 값을 순서대로 쓰시오. [3점]

4. 확률변수 의 적률생성함수(moment generating function) 가

이다. 확률변수 의 분산을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

또한, 이 적률생성함수가 인 분포로부터 뽑힌 확률표본일 때, 이들의 평균 에 대하여 가 이상이 될 확률은 중심극한정리(central limit theorem)를 적용하면 근사적으로 이다. 상수 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [4점]

5. 두 점 를 연결하는 곡면 위의 곡선 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점]

5-1. 는 의 측지선이 아님을 보이시오.

5-2, 점 에서 의 곡률을 구하시오.

6. 에서 보통위상공간 로의 함수

,

에 대하여 을 함수 가 연속이 되는 의 위상 중 가장 약한 위상이라 하자. 위상공간 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) 는 공간이 아님을 설명하시오.

(2) 집합 의 폐포를 구하시오.

7. 곡면 에 대한 다음 물음에 답하시오. [3점]

7-1. 은 직선곡면임을 보이시오.

7-2. 의 가우스곡률을 구하시오.

7-3. 의 평균곡률을 구하시오.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 실수 에 대하여

라 할 때, 의 값을 구하시오.

(단, 이다.) [2점]

2. 인 실수 에 대하여

일 때, 의 값을 구하시오. [2점]

1. 복소평면에서 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선적분

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 차원 유클리드 공간 에서 구

위에 단위속력곡선(arc-length parametrized curve)

이 있다. 각 에 대하여 점 에서의 의 종법선벡터(binormal vector)를 , 점 에서의 의 법선벡터(normal vector)를 라 하자.

모든 에 대하여 을 만족할 때, 의 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion) 를 구하시오. [4점]

3. 복소수 에 대한 함수

가 정함수(entire function)가 될 때,

임을 보이시오.

(단, 는 실숫값 함수이다. ) [4점]

4. 자연수 에 대하여 함수 를

로 정의하자. 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

5. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 에 대하여

라 하자. 가 무한집합일 때, 과 을 모두 만족하는 실수 가 존재함을 증명하시오. [5점]