◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 김 교사는 반 힐레(P. van Hiele)의 수학 학습 수준 상승을 위한 교수․학습 단계를 적용하여 고등학교 조합 단원의 수업을 계획하였다. 다음은 김 교사가 계획한 수업 과정을 순서 없이 나열한 것이다. 교수․학습 단계에 따라 (가)～(마)를 순서대로 배열하고, (마) 단계의 명칭을 쓰시오.[2점]

2. 다음 (가), (나)는 교사 A와 B가 다항식의 곱셈을

지도하는 수업 상황이다.

(가)의 수업 상황에서 발생할 수 있는 극단적인 교수학적

현상이 무엇인지 쓰고, 그 이유를 설명하시오.[2점]

3. 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다.

<주제: 진동하는 수열>

교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠.

학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다.

학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다.

학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다.

학생 1: 과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다.

학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반복하는 것이 옳을까요?

<중략>

교사: 토론을 통해서 수열 에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라

<중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.[3점]

4. 다음은 ‘이차식의 인수분해’에 대한 중학교 수업의 일부이다.

위에 제시된 교사의 수업에서 나타날 수 있는 극단적인 교수 현상을 의미하는 브루소(G. Brousseau)의 용어를 쓰고, 그 판단근거를 수업 내용과 관련지어 설명하시오.

또한에 대한 학생 A의 이해 상태를 의미하는 스켐프(R. Skemp)의 용어를 쓰고, 밑줄 친 부분에서 학생 B가 가지고 있을 것으로 예상되는 문자에 대한 오개념 1가지를 제시하시오.[4점]

5. 최 교사는 “기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는

서로 평행하거나 일치한다”는 학습 내용을 지도하려고 한다. 다음은 최 교사가 수업에 사용하기 위해 만든 학습 자료와 그 학습 자료를 활용한 학습 활동에 대한 계획이다.

딘즈(Z. Dienes)가 제안한 수학 학습 원리 중 수학적 다양성 원리의 관점에서 최교사의 수업계획을 평가하시오.[3점]

6. 다음은 문제설정(problem posing)에 관한 설명이다.

최교사가 ‘속성 나열하기’에 제시한 속성과 관련된 문제를 하나 제시하고, 문제해결의 단계를 간략히 설명하시오.

또한 이러한 문제제기 활동의 수학교육적 의미를 1가지 쓰시오.[3점]

7. 다음은 김 교사가 박 교사의 수업을 참관한 후 작성한 참관일지의 일부이다.

피아제(J. Piaget)는 활동에 대한 일반적 조정으로부터의 추상화를 반영적 추상화라고 하였다. 반영적 추상화의 예를 위 참관일지의 상황에서 1가지 찾아, 이 추상화의 과정을 반사와 반성으로 구분하여 그 근거와 함께 설명하시오.

[3점]

8. 다음은 중학교 2학년 삼각형의 외심에 대해 다음과 같은 활동을 한 후 형식적인 정당화를 하였다. 다음 학생과 교사가 대화하는 것을 보고 다음에 답하시오.

교사: 자~ 오늘 수업을 한 다음 자신의 어려운 점이나 재미있었던 점을 같이 이야기 해 볼까?

은혜: 저는 수업시간에 탐구활동에서 종이접기로 삼각형의 외심에 대한 성질을 확인하는 과정은 재미도 있고 이해도 잘되었어요. 그리고 그 성질이 성립하는 이유를 선생님이 설명하시는 것을 보면 저도 할 수 있을 것 같았어요. 그런데 혼자서 그 성질이 성립하는 이유를 풀어보려면 어떻게 해야할지 모르겠어요.

교사: 음 그렇구나. 그럼 윤정이는 어땠니?

윤정: 저는 종이접기로 확인하면 되지 왜 다시 그 성질이 성립하는지 이유를 설명하는 문제를 풀어야 하는지 모르겠어요. 사실 평행사변형의 경우도 초등학교에서 배워서 아는데 중학교에 와서 그 성질이 성립하는 이유를 설명하더라구요.

두 학생의 엄밀한 연역적 정당화 과정에 대한 생각과 그 원인을 분석하고, 그 결과를 근거로 하여 엄밀한 연역적 정당화 학습의 개선 방안을 제시하시오.

그리고 중학교 기하 영역에서 위의 학습과 관련하여 유의할 사항을 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 수학과 교육과정에 근거하여 1가지 쓰시오,[3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 행렬 에 대해 선형사상 을

로 정의할 때, im의 차원을 구하시오.[2점]

2. 방정식 의 해의 개수를 구하시오. [2점]

3. 군준동형사상 를 으로 정의하자. 일 때 의 위수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 의 원소 의 위수를 구하시오. [2점]

1. 이차형식 에 대하여

으로 치환하면

으로 표현된다. 실수 를 구하시오. [4점]

2. 방정식 의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 환준동형사상 이

로 정의될 때 의 핵(kernel) 을 구하고, 잉여환 이 체가 되도록하는 의 조건을 구하시오. [4점]

4. 환준동형사상 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) 를 구하시오. [2점]

(2) 는 체가 됨을 보이시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 함수 에 대하여 다음 적분의 값을 구하시오.

[2점]

2. 구간 에서 정의된 함수 의 역함수를 라 하자. 의 값과 의 값을 순서대로 쓰시오. [2점]

1. 복소수 에 대한 함수

가 정함수(entire function)일 때, 의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, 는 실숫값 함수이다.) [4점]

2. 구간 에서 도함수가 유계인 함수 에 대하여, 상수 가 존재하여 모든 에 대하여 부등식

가 성립함을 보이시오. [4점]

3. 연속함수 가 에서 미분가능하면 인 가 과 사이에 존재함을 보이시오. [4점]

4. 자연수 에 대하여 함수 를

로 정의하자. 함수항급수 가 닫힌구간 에서 균등수렴(평등수렴, 고른수렴, uniform convergence)하는지를 판별하고 그 이유를 쓰시오. [5점]

5. 복소평면에서 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선적분

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 꼭짓점의 개수가 인 단순평면그래프(simple planar graph)를 변(edge)이 교차하지 않게 평면에 그렸을 때, 하나의 면(face)만 사각형이고 나머지 면은 모두 삼각형일 때, 변의 개수를 구하시오. (단, 여기서 삼각형(사각형)이라함은 개의 변으로 둘러싸인 면을 의미하고, 외부영역(unbounded region)도 면으로 간주한다.) [서술형, 4점]

2.

자연수집합 에 대하여 이라 하자. 의 위상 를

으로 정의할 때, 위상공간 에 대해 다음 물음에 답하시오.(단, 은 의 멱집합이다.)

(1) 집합 의 폐포를 구하시오. [3점]

(2) 점렬 이 수렴하는지 판별하시오. [3점]

3. 두 확률변수 와 의 결합확률밀도함수(joint probability density function) 를

라 하고 확률변수 를 라 하자. 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 라 할 때, 함숫값 을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점]

4. 그림과 같은 정삼각형 내부에 있는 임의의 점 에서 각 변까지의 거리를 각각 , , 라 하자. 이 때, , , 가 삼각형의 세 변의 길이가 될 확률을 구하시오. [서술형, 4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5. 의 곡선 , 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점]

5-1. 곡선의 호길이를 구하시오. [2점]

5-2. 점 에서 의 곡률과 비틀림률을 구하시오. [2점]

6. 3차원 유클리드 공간 에서 두 곡면 을

,

이라 하고, 곡선 를 과 의 교선이라 하자. 곡면 에 놓인 곡선으로서 의 점 에서의 측지곡률(geodesic curvature)과 법곡률(normal curvature)을 풀이과정과 함께 쓰시오. [4점]