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2013학년도 중등교사신규임용후보자선정경쟁시험
수
학
2차 시험
2교시
2문항 50점
시험 시간 1
20분
수험생 유의 사항
1. 문제지(초안 작성 용지 포함)와 답안지의 전체 면 수와 인쇄 상태를 확인하시오.
답안지는 문항당 2쪽(교시당 4쪽), 초안 작성 용지는
교시당 4쪽입니다. 답안은 문항당 2쪽 이내로만 작성하시오.
2. 각각의 문항에 대한 답안은
해당 문항의 전용 답안지에만 작성하시오.
3. 답안지 모든 면의 상단에
컴퓨터용 사인펜을 사용하여 성명과 수험 번호를 기재하고, 수험 번호, 문항별 답안지 쪽 번호를 해당란에
‘
●’
로 표기하시오. ‘
●’
로 표기한 부분을 수정하고자 할 경우에는 반드시 수정 테이프를 사용하시오.
예시
1번 문항, 1번째 답안지 표기
1번 문항, 2번째 답안지 표기
문항 1
전용 답안지
쪽 번호 표기란
● ②
문항 1
전용 답안지
쪽 번호 표기란
①
●
4. 답안은
지워지거나 번지지 않는 동일한 종류의 검은색 펜을 사용하여 작성하시오(연필이나 사인펜 종류는 사용할 수 없음.).
5. 답안지에는 문항 내용을 일절 옮겨 적지 마시오. 단, 하위 문항이 있을 경우, 하위 문항의 번호(1-1, 1-2)를 답안지 앞부분에 쓰고
답안을 작성하시오.
6. 각 문항 답안 작성 후
마지막 문장 뒤에는 반드시‘끝’자를 쓰시오(하위 문항이 있는 경우 각 하위 문항에도‘끝’자를 쓰시오.).
7. 답안 초안 작성은 초안 작성 용지를 활용하시오.
초안 작성 용지는 답안지로 인정하지 않습니다.
8.
답안지 교체가 필요한 경우에는 답안 작성 시간을 고려하기 바라며, 종료종이 울리면 답안을 일절 작성할 수 없습니다. 답안지 교체
후에는 교체 전 답안지를 폐답안지로 처리합니다.
9. 답안 수정 시 삭제하고자 하는 부분에 두 줄(〓)을 그으시오.
10.
다음에 해당하는 답안은 채점하지 않으니 유의하시오.
∙ 다른 문항의 답안지에 작성한 부분
∙ 문항당 답안지 2쪽을 초과하여 작성한 부분
∙ 답안 작성란 이외의 공간(뒷면 등)에 작성한 부분
∙ 내용이 지워지거나 번지는 등 식별이 불가능한 부분
∙ 수정 테이프나 수정액을 사용하여 수정한 부분
∙ 개인 정보를 노출한 답안지 전체
∙ 개인 정보를 암시하는 표시가 있는 답안지 전체
11. 시험 종료 전까지 답안 작성을 완료해야 합니다.
시험 종료 후 답안 작성은 부정 행위로 간주됩니다.
12.
답안을 작성하지 않은 빈 답안지에도 성명, 수험 번호, 문항별 답안지 쪽 번호를 기재ㆍ표기한 후, 답안지 4쪽을 모두 제출하시오.
수 학 (3면 중
2면)
3. 이상의 정수 에 대하여 차원 유클리드 공간
ℝ 에서 원점 O 로부터 거리가 인 위치에 있는 점들의
모임을 차원 구라고 하고
⋯ ∈ℝ
로 나타낸다.예를 들어, 은 원, 는 구면이다.
(
단,
⋯
이고, 의 위상은 ℝ
위의 보통위상(
us
ualt
opol
ogy)
의 상대위상(
r
e
l
a
t
i
vet
opol
ogy)
이다.
)
【3
0
점】
3-1.학생 갑과 을이 위에 제시된 차원 구의 정의를 보고
다음과 같은 대화를 나누었다.
갑
: , 는 모두 연결 공간(
c
onne
c
t
e
d s
pac
e
)
이네.
아마도 ‘
모든 이 연결 공간이다.
’
라는 명제는 참인
것 같아.그래서 다음과 같이 증명해 보았어.
◦ 1
단계 :사상 ℝ O → 을
로
정의하면 이 사상은 연속(
c
ont
i
nuous
)
이고 전사
(
s
ur
j
e
c
t
i
ve
)
이다.
◦ 2
단계 :연결 공간의 연속사상에 대한 상(
i
mage
)
은
연결 공간이다.
◦ 3
단계 :ℝ O은 연결 공간이다.
◦ 4
단계 :2
단계와 3
단계로부터 도 연결 공간이다.
을
:음,의심스러운데?
∈ℝ 이잖아.
즉, 은 연결 공간이 아니지.
갑
:아,그럼 그 반례에 대해 이렇게 대응해야겠구나!
개선된 추측(
명제)
라카토스(
I
.La
ka
t
o
s
)
는 수학적 지식이 증명과 반박의 논리에
의해 추측이 개선되는 과정을 통해 성장한다고 주장하였다.
추측에 대한 반례가 출현할 때 라카토스가 제시한 대응 방법
중 다음에 제시된 (
가)
,(
나)
,(
다)
에 대해 기술하시오.그리고
위의 상황에서 나타난 반례에 대한 대응을 보조정리합체법을
이용하여 개선된 추측(
명제)
과 함께 구체적으로 설명하시오.
[
10점]
(
가)괴물배제법(
mons
t
e
r
-bar
r
i
ngme
t
hod)
(
나)예외배제법(
e
xc
e
pt
i
on-bar
r
i
ngme
t
hod)
(
다)보조정리합체법(
l
e
mma-i
nc
or
por
at
i
onme
t
hod)
3-2.3
차원 구
∈ℝ
에 대한 질문 (
Ⅰ)
,(
Ⅱ)
에 답하시오.[
20점]
(
Ⅰ) 에 대해서 다음과 같은 동치관계로 정의된
상공간(
quot
i
e
nts
pac
e
)
을 ∼라 하자.
∼ ⇔
이때 다음 (
가)
,(
나)
의 참,거짓을 판단하고 그 이유
를 설명하시오.
(
가) ∼은 컴팩트(
c
ompac
t
)
이다.
(
나) ∼과 은 위상동형(
home
omor
phi
c
)
이다.
(
Ⅱ)사영사상 ℝ → ℝ ,
에 대하여 ∈ℝ 와
의 교집합 ∩ 을 생각하면, ∩ 는
ℝ에서 점 을 포함하는 정규곡면(
정칙곡면,
r
e
gul
a
rs
ur
f
a
c
e
)
이 된다.이때 의 점 에서
의 가우스곡률(
Gaus
s
i
anc
ur
vat
ur
e
)
을 구하시오.
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3면)
수고하셨습니다
4. 두 양수 에 대하여
cos sin
를 구하시오.그리고 실수 에 대하여
cos
lim
→∞
라 할 때
를 구하시오.
【2
0
점】
※ 아래 제시된 성질은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.
<성 질>
(
가)복소평면에서 두 양수 에 대하여
cos sin ≤ ≤ 일 때
이다.
(
나)
∞
(
다)자연수 에 대하여
cos
이다.
(
라)구간 에서 정의된 함수열 이 있다.모든 자
연수 과 모든 ∈ 에 대하여
≤ 이고
급수
∞
이 수렴하면 함수급수
∞
은 에서
평등수렴(
균등수렴,uni
f
or
m c
onve
r
ge
nc
e
)
한다.
(
마)닫힌 구간 에서 적분 가능한 함수열 이
로 평등수렴하면 도 적분 가능하고
lim
→∞
이다.
