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2014학년도 중등학교교사임용후보자선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
1차 시험
2 교시 전공A
21문항 50점
시험 시간 90분
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
기입형 【1 ~ 15】
1. 프로이덴탈(H. Freudenthal)의 수학화 교수․학습 이론에 따르면,
아래의 가지 사항은 현상으로부터 본질에 이르는 접근이 아니라
학습자에게 본질을 부과하는 접근이다. 프로이덴탈은 이와 같은 교수
학적 접근 방식을 무엇이라 하였는지 쓰시오. [2점]
◦ 기성 수학의 전개 순서에 따라 학교수학의 교재를 구성하는 것
◦ 수학화 과정에 대한 경험은 생략하고 기성 지식을 초등화해
가르치는 것
2. 다음은 어떤 수학적 개념의 원형과 그 개념에 들어있는 아이디어를
다룬 교사 교육용 자료의 일부이다.
• 이 개념의 원형은 다음과 같다.
[그림]과 같이 선분 AB와 반직선 CD에 대하여, 선분 AB
위의 점 P와 반직선 CD 위의 점 Q 가 각각 A 와 C로부터
같은 속도로 동시에 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고
하자. 이때 점 P의 속력은 PB의 거리에 비례하고, 점 Q의
속력은 일정하다고 하자.
[그림]
이때, 거리 CQ를 거리 PB의 ( )(이)라고 하였다.
• 다음은 이 개념에 들어있는 아이디어를 활용한 계산의 한
예이다.
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
이 표를 활용하면, × 의 근삿값을 쉽게
얻을 수 있다.
… (하략) …
( ) 안에 들어갈 용어가 무엇인지 쓰시오. 그리고 수학을 완성된
생산품으로 제공하는 것이 아니라 수학이 발생해 온 과정을 경험하게
하기 위해 수학적 개념의 원형이나 그 개념에 들어있는 아이디어를
활용하는 교수․학습 원리가 무엇인지 쓰시오. [2점]
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3. 다음은 중학교 학년 기하 영역의 평행사변형의 성질을 다루는
수업의 일부이다.
교사 : 측정 활동을 통해 알아낸 평행사변형의 성질 ‘두 쌍의
대각의 크기가 각각 같다.’가 왜 성립하는지 설명해
보도록 하지요.
학생 : 어려워요.
(이 문제를 해결한 학생이 없는 듯 보인다.)
교사 : 시간이 없으니 어쩔 수 없네. 대각선을 그어 평행사변형을
두 삼각형으로 나누면, 그 두 삼각형이 합동이 돼요. 그러면
그 성질이 성립한다는 것을 바로 보일 수 있을 것입니다.
학생 : 합동이 되니까 성립하네요.
교사 : 그러면 다음 내용을 공부합시다.
밑줄 친 부분에서 학생 스스로 학습할 환경을 교사가 제거하는
현상이 발생하고 있다. 여기서 이 교수학적 현상은 ‘교사는 수학적
지식을 가르쳐야 하고 학생은 그것을 배워야 한다.’는 압박에 의해
발생한다고 할 수 있다. 브루소(G. Brousseau)의 수학 교수학적 상황론
(Theory of Didactical Situations in Mathematics)에서 이러한 현상을
설명할 수 있는 개념과 이러한 압박을 설명할 수 있는 개념을 각각
쓰시오. [2점]
4. 다음은 중학교 학년 기하 영역에서 모든 다각형의 외각의 크기의
합이 °임을 알아내는 수업 상황이다.
(학생들은 삼각형의 외각의 크기의 합이 ° 임은 알고 있지만,
아직은 각형의 외각의 크기의 합을 구할 수 없는 상태이다.)
… (상략) …
교사 : (그림을 제시하며) 다각형의 각 꼭짓점에서 내각과 외각의
크기의 합은 얼마인가요?
학생 : ° 입니다.
교사 : 그러면 각형의 모든 내각과 외각의 크기의 합은 얼마
인가요?
학생 : ° × 입니다.
교사 : 외각의 크기의 합은 어떻게 구할 수 있을까요?
학생 : 잘 모르겠어요.
교사 : 내각과 외각의 관계를 생각해 보면 외각의 크기의 합을
구할 수 있지 않을까요? (다각형에 외각과 내각을
표시하면서 외각과 내각의 관계를 떠올리게 한다.)
학생 : 아! 알겠어요. 내각과 외각의 크기의 합에서 내각의
크기의 합을 빼면 될 것 같아요.
교사 : 내각의 크기의 합은 알고 있지요?
학생 : 네. ×° 입니다.
교사 : 그러면 외각의 크기의 합을 구하는 식을 나타낼 수 있을
까요?
학생 : (외각의 크기의 합) ° ×(내각의 크기의 합)
° × ° × ° 입니다.
교사 : 잘했어요. 따라서 다각형에서 외각의 크기의 합은 언제
나 °로 일정함을 알 수 있어요.
… (하략) …
위 상황에서 교사는 학생의 근접 발달 영역에서 교사의 사고 과정을
모방할 수 있는 시범이나 실마리를 제공하고 있다. 이러한 교수․학습
상황에서 학생들이 과제를 수행해 나가는 데 있어서 도움을 적절히
조절하며 제공하는 것을 비고츠키(L. Vygotsky) 학파는 무엇이라
하는지 쓰시오. [2점]
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5. 과 서로소인 양의 정수 에 대하여
의 마지막 두 자리 수가
이다.
의 마지막 두 자리 수를 구하시오. [2점]
6. 위수(order)가 ×× 인 순환군(cyclic group) 에
대하여 의 부분군의 개수를 , 에서 위수가 인 원소의 개수를
이라 하자. 의 값을 구하시오. [2점]
7. 반복적분
sin 의 값을 구하시오. [2점]
8. 거듭제곱급수(멱급수, power series)
∞
의 수렴구간을
구하시오. [2점]
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9. 양수 에 대하여 함수 → 를 다음과 같이 정의하자.
sin
sin
≤
함수 의 도함수 ′이 에서 연속이기 위한 필요충분조건을
에 대한 부등식으로 나타내시오. [2점]
10. lim
→ ∞
의 값을 구하시오. [2점]
11. 차원 유클리드 공간
에서 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion)과
곡률(curvature)이 각각 상수 , 인 단위속력 곡선 에 대하여,
곡선 를 다음과 같이 정의하자.
여기서 는 곡선 의 주법벡터장(단위주법벡터장, principal
normal vector field, unit principal normal vector field)이다.
곡선 의 곡률과 비틀림률을 각각 , 라 할 때, 의
값을 구하시오. [2점]
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12. 차원 유클리드 공간
에 놓인 곡면
cos sin
≥ ≤≤
에 포함되는 영역 ≤ ≤ ≤ ≤ 가 있다.
의 경계(boundary) 의 측지곡률을 라 할 때, 의 측지곡률합
(전측지곡률, total geodesic curvature)
의 절댓값을 구하
시오. (단, 는 호의 길이를 나타내는 매개변수이다.) [2점]
◦ 도움말
정칙곡선(정규곡선, regular curve)
,
,
⋯,
들로
이루어진 조각별 정칙곡선(piecewise regular curve) 의
측지곡률합은
로 정의된다.
13. 좌표평면
위에 곡선
∈
이 주어져 있다. 곡선 를 원점을 중심으로 시계방향으로 °만큼
회전이동 했을 때, 초점이 축에 있는 쌍곡선이 되는 자연수 중에
서 가장 작은 수를 구하시오. [2점]
14. 자연수 전체의 집합 에서 위상 를
⊆ 는 유한집합∪∅
으로, 함수 → 을
≤
≤
≤
으로 정의하자. 를 에서 이산위상(discrete topology)이라 하고,
집합 를
∈ → 는 에서 불연속
이라 할 때, 집합 의 원소의 개수를 구하시오. [2점]
15. 어느 도시의 성인 중 %가 A 통신사를 이용한다고 한다. 이
도시의 성인 명을 임의로 조사할 때, A 통신사를 이용하는 성인이
명 이상 명 이하가 될 확률을 이항분포의 정규근사를 이용하여
구하면 ≤ ≤ 이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 표준정규
분포를 따르는 확률변수이고 연속성 보정은 하지 않는다.) [2점]
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서술형 【1 ~ 6】
1. 다음은 정수의 사칙연산을 지도하기 위한 셈돌 모델, 수직선 모델,
귀납적 외삽법에 대한 예시이다.
셈돌 모델
●●○○○○
수직선 모델
귀납적 외삽법
×
×
×
×
×
×
×
정수의 사칙연산을 지도할 때, 셈돌 모델의 약점과 이를 보완할
수 있는 수직선 모델의 장점을 각각 쓰시오. 그리고 정수의 사칙연산
을 지도할 때, 수직선 모델의 약점과 이를 보완할 수 있는 귀납적
외삽법의 장점을 각각 쓰시오. [3점]
2. 위의 보통위상(usual topology)을 , 함수 → 를
이라 하고, 위의 위상
을
∈ 라 하자.
∪, 이라 할 때, 적공간(product space)
× 에서 × 의 폐포(closure)
× 와 × 의 내부
(interior) ×° 를 구하시오. 이를 이용하여 × 에서
× 의 경계(boundary) ×를 구하는 과정을 쓰시오.
(단, 은 자연수 전체의 집합, 는 정수 전체의 집합, 는 실수 전체의
집합이다.) [3점]
3. 다항식환 ℤ
에서
를 두 일차식의 곱
로 나타낼 수 없음을 증명하시오. [4점]
4. 연속함수 → 에 대해 집합 ∈ 의 상한
(최소상계, supremum, least upper bound) 이 존재한다. <정리 1>을
증명 없이 이용하여 을 만족하는 ∈ 이 존재함을
증명하시오. [4점]
<정리 1>
유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
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<수고하셨습니다.>
5. 두 연속확률변수 와 의 결합확률밀도함수(joint probability
density function) 를
그 외의 경우
라 하자. 의 주변확률밀도함수(marginal probability density
function) 를 구하고, 이를 이용하여 가 주어졌다는 가정
하에 의 조건부확률밀도함수(conditional probability density
function) 와 의 조건부기댓값(conditional expectation)
를 구하시오. [3점]
6. 자연수 에 대하여, 방정식
(단, ≤ ≤ ≤ ≤ )
을 만족하는 정수해의 개수를 이라 하자. 의 생성함수 를
구하고, 이를 이용하여 를 구하시오. [3점]
