수 학 (4면 중
2 면)
2014학년도 중등학교교사임용후보자선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
1차 시험
3 교시 전공B
5문항 30점
시험 시간 90분
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
서술형 【1 ~ 3】
1. 다음은 폴리아(G. Polya)의 수학적 문제해결 교육론에 근거해 어떤
문제를 해결한 과정의 일부이다.
<이해 단계>
문제에서 구하려는 것과 주어진 것을 파악하면서 문제를 분석
한다. 구하려는 것을 로 놓는다.
<계획 단계>
문제에서 구하려는 것과 주어진 것 사이의 관계를 파악하고,
그러한 관계를 나타내는 방정식을 세운다. 이때 방정식이 참이
라고 하자.
<실행 단계>
양변을 제곱하여 정리하면
이고,
이므로 또는 이다. 그런데 이 조건은 주어진 방정식이
참이 되기 위한 필요조건이다.
<반성 단계>
또는 가 주어진 방정식을 참이 되게 하는 충분조
건도 되는지 알아본다. 은 충분조건이지만 는 충분
조건이 아니다. 따라서 이 주어진 방정식을 참이 되게
하는 필요충분조건이다.
이 문제의 상황에 부합하는지의 여부를 점검한다.
위 문제해결 과정에서는 수학적 발견술인 분석법이 사용되고 있다.
<계획 단계>와 <실행 단계>에서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지
각각 설명하시오. [3점]
2. 다항식
의 유리수체 위에서의 분해체(splitting field)를
라 하면 갈루아군 의 위수(order)는 임을 증명하시오.
[4점]
3. 자연수 전체의 집합 에 대하여, 집합 ∪ 위에
∪∪
는 의 유한부분집합 ∪
을 기저(base)로 하는 위상을 라 하자.
① ⊊⊊ , ≠∪ 이고
가 콤팩트
(compact)이다.
② ⊊ ⊊ 이고
가 콤팩트가 아니다.
①을 만족하는 를 모두 구하고, ②를 만족하는 의 예를 하나
제시하고 예가 되는 이유를 설명하시오. (단, ⊆ 이
고, ⊂ 일 때 ∩ ∈ 이다.) [3점]
수 학 (4면 중
3 면)
김 교사 : 오늘은 가능성의 크기를 어떻게 구하는지에 대해
공부하려고 해요. 이와 관련해 일어날 가능성이 가장
큰 사건을 찾는 활동을 해 봅시다. 예를 들어 두 주사
위를 던졌을 때, 두 주사위의 눈의 합이 나올 수 있는
사건의 수는 입니다. 합이 인 사건부터 인 사
건까지 나올 수 있는 것이지요. 그 가지 사건 중
에서 일어날 가능성이 가장 큰 사건은 무엇일까요?
학 생 들 : 가지 사건이 일어날 가능성은 서로 같을 것 같은데요.
김 교사 : 왜 그렇게 생각하나요?
학 생 들 : 그냥 서로 같을 것 같아요.
김 교사 : 그러면 두 주사위를 던지는 실험을 통해 여러분의
예상이 맞을지에 대해 알아보도록 하지요.
개의 모둠을 편성해서 모둠마다 두 주사위를 번씩
던지고, 던진 횟수에 대해 각 사건이 나온 횟수를 기입하는 방
식으로 상대도수를 나타낸 아래의 표를 완성하였다.
김 교사 : 우리가 예상한 것과 상당히 다른 결과가 나온 이유
가 뭘까요? 왜 그런지 생각해 봅시다.
학생 A : 제 생각에는 가지 사건이 일어날 가능성이 원래
부터 서로 같지 않아서 그런 것 같아요. 각 사건에
들어있는 경우의 수를 잘 세어야 해요.
김 교사 : 그 가능성이 어떻게 서로 다른지에 대해 자세히 설명
해줄 수 있나요?
학생 A : 네. 두 주사위의 눈의 합이 나오는 사건의 수는
이 맞습니다. 하지만 두 주사위의 눈이 나오는 경우
의 수는 , , , ⋯, , , ⋯,
과 같이 입니다.
이후, 학생 A는 두 주사위의 눈의 합이 인 사건부터 인
사건 각각에 포함된 경우들을 언급하면서, 전체 경우의 수에
대한 해당 사건에 포함된 경우의 수를 세어서 가지 각 사건
이 일어날 가능성이
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
임을 설명하였다.
김 교사 : 실험 결과에서 합이 인 사건부터 인 사건까지의
상대도수가 서로 비슷하지 않은 이유가 무엇인지 알
겠어요?
학 생 들 : 네. 알 것 같아요. 원래 가능성이 서로 달랐기 때문
에 실험 결과에서도 서로 다르게 나온 것 같아요.
학생 B : 그러고 보니까, 학생 A가 제시한 각각의 가능성이
실험을 통해 나온 각각의 상대도수와 거의 같아요.
김 교사 : 좋은 관찰입니다. … (중략) … 어떤 사건이 일어날
가능성을 확률이라 합니다. 이제 우리가 오늘 했던
활동을 바탕으로 일반적으로 확률을 어떻게 구하면
될지 생각해 볼까요?
학생 A : 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때에는 그 사건에 들
어있는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누면 구할 수
있어요.
학 생 들 : ㉠ 선생님, 다른 상황에서도 어떤 사건이 일어날
확률을 구할 때 각각의 경우는 항상 같은 가능성을
가지고 있다고 생각하면 되는 거지요?
김 교사 : ㉡ 지금 질문한 내용이 중요합니다. 여러분이 확률을
구해야 하는 상황에서 흔히 잘못 생각하는 부분이
있어요. 정육면체 주사위와 직육면체 주사위를 던진
다고 생각해 봅시다. … (중략) … 실험도 해 볼까요.
… (중략) … 이런 점을 잘 고려해서, 어떤 사건이 일
어날 확률은 어떻게 구하면 되고 이때 무엇에 유의
해야 하는지 정리해 볼까요.
… (하략) …
논술형 【1 ~ 2】
1. 다음은 중학교에서 확률 개념을 도입하는 수업의 일부이다. 이 수업
이전에, 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에 따라 ‘가능성’은
초등학교 - 학년군에서 다루어졌고 ‘상대도수’, ‘사건’, ‘경우의 수’는
중학교에서 이미 다루어졌다고 하자.
개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 중학교 확률과 통계
영역 <교수․학습상의 유의점> 가지 사항과 확률 직관에 대한
피시바인(E. Fischbein)의 이론을 적용하여, 김 교사는 ‘경우의 수의
비율’로 확률 개념을 도입하고 있다.
김 교사의 수업에서 확률과 통계 영역의 <교수․학습상의 유의점>
가지 사항이 각각 어떻게 적용되고 있는지 설명하시오. 그리고
학생이 확률을 배우기 이전부터 가지고 있던 ‘확률 직관의 특성’과
‘확률 직관 발달의 특성’에 대한 피시바인의 이론을 각각 설명하고,
위의 밑줄 친 ㉠과 ㉡에서 그러한 피시바인의 이론이 어떻게 적용되고
있는지 각각 설명하시오. [10점]
수 학 (4면 중
4 면)
<수고하셨습니다.>
2. 다음 개의 복소함수
,
,
,
로 생성되는 복소 벡터 공간
∈
를 라 하자. 여기서 는 의 켤레복소수이다.
복소평면 상의 시계반대방향의 단위원 에 대하여
사상(map) → 를 다음과 같이 정의하자.
가 선형사상임을 증명하시오. 선형사상 의 핵(kernel) ker의
기저를 구하고, ker를 이용하여
∈ 를
나타내시오. [10점]
