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2015학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
3 교시 전공B
6문항 40점
시험 시간 90분
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
서술형 【1 ~ 4】
1. 2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 중학교 수와 연산
영역 <교수․학습상의 유의점>에 ‘유한소수를 순환소수로 나타
내는 것은 다루지 않는다’고 명시되어 있다. 이 유의점이 명시되어
있는 이유를 구체적인 사례와 함께 쓰시오. 또, <보기>와 같이
순환소수를 분수로 고치는 학습 내용을 지도할 때, 유의해야 할 점을
교육과정에 근거하여 서술하시오. [5점]
<보 기>
순환소수 을 분수로 나타내어 보자.
을 라고 하면
⋯
…… ①
이고, ①의 양변에 10을 곱하면
⋯
…… ②
이다. 이때 ①과 ②의 소수 부분이 같으므로
②에서 ①을 변끼리 빼면 이다.
따라서
이다.
즉,
임을 알 수 있다.
2. 프로이덴탈(H. Freudenthal)은 교실 수업을 위한 사고실험
(thought-experiment)을 그의 교수․학습 이론에서 제안하고 있다.
다음은 사고실험에 대해 두 교사가 나눈 가상 대화의 일부이다.
최 교사 : 사고실험이 중요하다고 하는데, 정말인가요?
김 교사 : 그럼요. 다음 수업 시간에 가르칠 학습 내용을 1가지만
말씀해 주세요.
최 교사 : 네, 삼각함수의 덧셈정리 중에서
sin sin cos cos sin 임을 증명하는
문제가 있어요. 교과서에서는 좌표평면에서 점의
좌표를 이용하여 증명하고 있어요.
김 교사 : 예전에 이 문제를 지도하면서 수업 시간에 겪은
어려움 중에 기억나는 것이 있나요?
최 교사 : 학생들에게 적절한 질문을 하지 못했고, 예상하지 못한
학생들의 궁금증에 충분한 답을 주지도 못했어요. 예를
들어, 한 학생이 좌표를 이용하지 않고도 삼각함수의
덧셈정리를 증명할 수 있는지 질문하였을 때, 제가 좀
망설였던 것 같아요.
김 교사 : 그렇습니다. 학생의 눈높이에 맞는 수학 수업을
위해서는 수업에 앞서 철저한 준비가 필요합니다.
최 교사 : 그렇군요.
김 교사 : 삼각함수의 덧셈정리 문제로 다시 돌아가 볼까요?
이 문제에 대한 어느 수학자의 접근 방법을 찾아보면,
‘삼각형 ABD의 넓이에서 삼각형 ABC의 넓이를
뺀 것은 삼각형 ACD의 넓이와 같다’는 사실을 이용
하고 있습니다.
(김 교사는 위 그림을 이용하여 삼각함수의 덧셈정리에
대하여 논의한다.)
최 교사 : 그렇군요. 좌표를 이용하지 않고도 학생들을 증명으로
안내할 수 있고, 직관적으로도 이해시킬 수 있네요.
김 교사 : 지금까지 나눈 대화를 통해 사고실험에 대해 정리해
볼까요.
… (후략) …
프로이덴탈의 교수․학습 원리의 관점에서 사고실험의 역할을
적으시오. 또, 교실 수업에서 사고실험을 통해 얻을 수 있는 의의를
위 가상 대화에 근거하여 2가지 제시하시오. [5점]
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3 면)
3. 곡면
∈ℝ
위의 점
에서의 접평면(tangent plane)을
v ∈ℝ
v
는 에서의 곡면 의 접벡터라 하고
이 점에서의 주곡률(principal curvature)을 각각 라 하자.
또, 에 속하는 두 개의 단위접벡터(unit tangent vector)
w
와 가 이루는 각이
라고 하자.
점 에서 곡면 의 가우스 곡률 를 풀이 과정과 함께 쓰고,
w
방향으로의 법곡률(normal curvature) w 를
( 는 상수)로 나타낼 때 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.
[5점]
4. 다음 조건 ①, ②에 의해 정의된 그래프 의 변(edge)의 개수를
구하고, 는 평면그래프(planar graph)가 아님을 보이시오. 그리고
그래프 의 채색수(chromatic number) 를 풀이 과정과 함께
쓰시오. [5점]
① 그래프 의 꼭짓점의 집합은 아홉 개의 원소로 구성된
v v v v v v v v v
이다.
② 두 꼭짓점 v와 v는 두 정수 와 가 서로소일 때만
인접한다.
예를 들어, v와 v은 인접하지만, v와 v은 인접하지
않는다.
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<수고하셨습니다.>
논술형 【1 ~ 2】
1. 실수
을 근으로 가지는 다항식
은 을 법으로 하여
과 합동이고,
는
에서 기약다항식임이 알려져 있다.
이를 이용하여, 가 에서 기약임을 보이시오. 그리고
라 할 때 차수(degree) 의 값을 풀이 과정과
함께 쓰고, 다항식
∈의 분해체(splitting
field) 에 대하여 갈루아 군 의 위수(order)를 풀이 과정과
함께 쓰시오. [10점]
2. 다음을 읽고 물음에 답하시오.
유계인 닫힌 구간 에서 유계함수 →ℝ와
의 분할 에 대한 하합(lower sum)과 상합(upper sum)을
각각 , 로 나타내고,
sup 는 의 분할
in f 는 의 분할
이라 두자.
이때 의 임의의 분할 , 에 대하여
≤ 이므로
≤ ··································· (가)
가 성립한다. 만약
≥ ··································· (나)
도 성립하면 는 에서 리만적분가능하다고 한다.
한편, 고등학교 교과서에서는
“함수 가 에서 연속이면 극한
lim
→ ∞
(
, ) ··· (다)
는 항상 존재함이 알려져 있다.”
라고 설명하고 이 극한을 정적분의 정의로 사용하고 있다.
부등식 (가)를 증명하고, 에서 정의된 연속함수 에 대하여
(나)가 성립함을 증명하시오. 그리고 이를 토대로 에서 정의된
연속함수 의 경우, (다)의 극한 lim
→ ∞
가 존재함을
보이시오. [10점]
