수    학  (6면  중 

2 면)

 ◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은  수학교육론  강의  시간에  다양한  현상과  결부된  개념을 

학습한 다음,  이를 요약한 것이다.  (가)와 (나)의 설명에 해당하는 

개념을 순서대로 쓰시오.  [2점]

(가)
◦현실에 질서를 부여하는 활동으로, 현상이 본질로 조직

되고 그 본질이 다시 현상이 되는 끊임없는 재조직화의 
과정임.

◦현실의 여러 현상들을 수학적인 수단을 사용하여 조직

하고 현상들 사이에서 그 정리수단인 본질을 찾는 활동임.

◦트레퍼스(A. Treffers)는 이 활동이 주어진 상황마다 

다르며 다양한 활동으로 세분화될 수 있다고 함.

(나)
◦비수학적 문제 상황에서 출발한다는 면에서 문제

해결과는 차별화됨.

◦다음과 같은 일련의 과정을 거침.

① 실세계 현상을 관찰하여 그 현상 속에 내재된

문제를 명확히 구성함.

② 구성된 문제를 해석하여 현상에 적합한 모델을 

구축함.

③ 모델 내에서 적절한 수학적 분석을 실시함.
④ 분석 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 

재해석하여 결론을 도출함.

2. 군 준동형사상(group  homomorphism)    

 ×  → 를 

   로 정의하자.  의 핵(kernel)을   라 할 때, 

잉여군(상군,  factor  group,  quotient  group)   ×  의 

위수(order)를 구하시오.  (단,  양의 정수  에 대하여  은 위수가 

인 덧셈 순환군(additive  cyclic  group)이다.)  [2점]

3. 이차함수   





   과 양의 정수  에 대하여  을 

특이적분(이상적분,  improper  integral) 





∞





 의 수렴

또는 발산에 따라 다음과 같이 정의하자.



 















∞





 





∞





 가 수렴







∞





 가 발산



  

∞



의  값을  구하시오.  [2점]

4. 그림과 같이 좌표평면에서 곡선  는 점   에서 시작하여

점    와 점   을 지나 점   까지 선분으로 연결한

경로이다. 





       의 값을 구하시오.  [2점]

2016학년도  중등학교교사  임용후보자  선정경쟁시험

수    학

수험 번호 : (   

   )

                 성 명 : (   

   )

제1차 시험

2 교시 전공 A

14문항 40점

시험 시간 90분

수    학  (6면  중 

3 면)

5. 좌표평면에서 영역  가

   ∈   ≤  ≤   ≤  ≤ 

일 때,  함수     →  를 다음과 같이 정의하자.

  









 

 ≥ sin



sin

    sin



두 반복적분의 합











   









sin





  sin

  

의 값을 구하시오.  [2점] 

6. 차원 유클리드 공간  

에서 단위속력곡선(unit  speed  curve) 

   → 

 의 점 에서의 곡률(curvature)  는 

  



   이다.  곡선    →  을

   ′ 

로 정의할 때,     에서     까지 곡선   의 길이를 구하시오.

[2점]

7. 앞면이 나올 확률이     인 동전을 학생 A가 번 

던지고,  학생  B가   번 던진다.  학생  A가 던져서 앞면이 나온 

횟수와 학생  B가 던져서 앞면이 나온 횟수의 합이   일 때,

학생  A가 던져서 앞면이 나온 횟수가   일 확률이  





이다. 

 의 값을 구하시오.  [2점]

8. 두 연속확률변수 ,   가 서로 독립이고, 

확률밀도함수(probability  density  function)가 각각

   







 





  

   

 

  

이다.  확률변수       의 확률밀도함수   를 구하시오.

[2점]

수    학  (6면  중 

4 면)

9. 다음은  역사  발생적  원리에  대한  설명과  예비  교사가  작성한 

수업 계획서의 일부이다.

(가)  역사  발생적 원리

수학이 발생된 것으로 파악하고 학습자가 학습 과정에서 

수학의 발생을 경험하게 하는 원리이다.  이 원리는 클레로

(A.  Clairaut),  클라인(F.  Klein),  퇴플리츠(O.  Toeplitz)  등이 

주장하였다.

(나)  수업  계획서

◦단원 제목 : 삼각함수

◦지도 순서

1단계

⇨

2단계

⇨

3단계

⇨

4단계

함수

정의하기

표로

나타내기

그래프로 

그리기

현실에 

응용하기    

- 단계에서는 함수    sin를 정의한다.

- 단계에서는 함수   sin에서 와   사이의 관계를 표로 

나타낸다.

- 단계에서는  단계에서  작성한  표를  바탕으로  그래프를 

그린다.

- 단계에서는 함수    sin와 관련된 응용문제를 다룬다. 

역사 발생적 원리에 따라 수학 수업을 진행할 때,  수학 교수․학습

에서의 의의를   가지 쓰시오.  또한 이 원리에 기초하여 (나)에서 

제시한 지도 순서를 재구성하고,  그 이유를 지도 내용과 관련지어 

설명하시오.  [4점]

10. 다음은 수학 교사를 위한 ‘평가’  연수 시간에 이루어진 대화의 

일부이다.

김 강사 : 서술형 평가의 중요성에 대해 말씀을 드렸습니다.  혹시 

질문이 있으세요?

박 교사 : 서술형 평가는 선택형 평가와 비교해 장점도 있지만, 

채점의 어려움이 걱정입니다.

김  강사 : ‘총체적  점수화  방법’을  적용하여  채점하면  좋을  듯 

합니다.  <자료 1>로 설명해 볼게요.

<자료 1>

(선택형)  



가 정수가 되는 

이하의 모든 양의 정수  의 합은? 
①      ②      ③      ④      ⑤  

 

정답률

(%)

답지반응률(%)

① ② ③ ④ ⑤



    

(서술형)  



가 정수가 되는   이하의 모든 양의 정수  의 

합을 풀이 과정과 함께 쓰시오.  [10점]

… (중략) …

박 교사 : 아,  풀이 전반에 걸쳐 하나의 점수를 부여하는 방법

이군요.  다른 채점 방법도 있나요?

김 강사 : 네,  ‘분석적 점수화 방법’이 있습니다.  문제를 해결

하는 데 필요한 내용이나 과정을 몇 단계로  구분하여 

단계별로 점수를 부여하는 방법입니다. 

<자료 2>는  <자료 1>의  (서술형)  문제에  대해  어느 

교사가 작성한 채점 기준표와 학생 A의 답안입니다.

<자료 2>

채점  기준표

채점 영역

채점 요소

배점

문제 이해 제곱근의 성질  



  ( ≥ )을 이해함



문제해결





를 



 ×  ×    또는 



로 고침 





 ×  ×    또는  



를  이용하여  만족

하는 수를 모두 구함



답 구하기

만족하는 모든 수의 합을 구함



학생 A의  답안





  ( ≥ )

이므로 



가 정수가 되기 위해서는 

  

이고, 또한

  



 ×  ×   



이므로 





가 정수가 되기 위해서는    이다. 

따라서 만족하는 모든 양의 정수의 합은  이다.

… (중략) …

박 교사 : 네,  서술형 평가 실시에 큰 도움이 될 것 같습니다.

교사의 수업 개선에 초점을 맞추어 서술형 평가의 장점을 <자료 1>, 

<자료 2>와 관련지어 서술하시오.  또한 <자료 2>의 채점 기준표에 

근거하여  ‘학생 A의  답안’을  채점한  점수를  쓰고,  그  점수를 

부여한 이유를 설명하시오.  [4점]

수    학  (6면  중 

5 면)

11. 함수    ∞→ 가 구간  ∞ 에서 미분가능하다. 

모든 점  ∈  ∞ 에 대하여    ′ ≤  이고     일 때, 

 ≤ 

 임을 보이시오.  또한   ≤    이면 방정식 

   는 단 하나의 해를 가짐을 보이시오.  (단,   은 상수이다.)

[4점]

12. 실수 전체의 집합   에서     ∈ 를 기저(base, 

basis)로 하는 위상을  ℑ 이라 하고,       ∈ 를 

기저로 하는 위상을  ℑ 라 하자.  적공간(곱공간,  product  space) 

 ℑ

  ×   ℑ  에서  집합 

    ∈×     ≤  

의 내부(interior)  

o 를 풀이 과정과 함께 쓰시오.  또한 

 의 폐포(closure)  

 와   의 경계(boundary)   를 구하시오. 

(단,      ∈   ≤   ,      ∈     ≤ 

이다.)  [4점]

수    학  (6면  중 

6 면)

13. 정수  은 법(modulo)   에 대한 원시근(primitive  root)이고, 

 는 소수이다.  정수    

 에 대하여  ≡ mod 를 만족 

하는 가장 작은 양의 정수   의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[4점]

14. 유리수 체    위에서 대수적인 원소  와 단순확대체(simple 

extension  field)    가 있다.   가   의 부분체이고

irr      



   



    ⋯ 

   ⋯   ∈ 

일 때,      ⋯   임을 보이시오. 

또한    

  이고    

 일 때,  irr  를 구하시오. 

(단,    

  이고,  irr   는     위에서   의 기약다항식 

(최소다항식,  irreducible  polynomial,  minimal  polynomial)이다.) 

[4점]

<수고하셨습니다.>