수    학  (5면  중 

2 면)

 ◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 브루너(J.  Bruner)의 학습 이론을 적용하여 진행한 수업의 

일부이다.

교 사 : 나무로  된  교구를  이용하여  인수분해  공식의  원리를 

발견하는  수업을  하겠습니다.  한  변의  길이가   인 
정사각형,  두 변의 길이가 각각   과   인 직사각형, 
한 변의 길이가   인 정사각형 모양의 교구가 있어요. 
자유롭게 도형을 만드는 활동을 시작해 보세요.

학생들 : 네.  (교구를 가지고 활동을 하면서 교구에 대한 충분한 

친밀감을 가진다.)

교 사 : 이제  교구에  익숙해졌나요?  한  가지  질문을  할게요. 

주어진 세 종류의 교구를 최소한 한 개씩 사용하여 
직사각형을 만들 수 있을까요?
(학생들은  다음과  같은  직사각형을  구성하고,  교사는 
학생이  구성한 직사각형을 칠판에 그린다.)

학생  1 : 교구로 직사각형을 만들었더니,  참 재미있어요.  이것으로 

다른 활동을 할 수 있나요?

교 사 : 다른 활동을 할 수 있지만,  수학적 원리,  개념 등을 찾는 

것에 집중해 봅시다.  여러분이 만든 직사각형의 넓이를 
가로의  길이와  세로의  길이를  이용하여  표현할  수 
있을까요?

학생 2 : 잘 모르겠어요.  교구로 다른 모양을 만들어 보는 것이 

더 재미있는 것 같아요.

교 사 : 그러면 새로운 직사각형을 더 만들어 보고,  두 변의 

길이와  직사각형의  넓이를  어떻게  나타낼  수  있는지 
각자 공책에  기록해 봅시다.  (잠시 후  교사는 계속 
질문을 한다.)

학생들 : (교사의 질문에 집중하지 못하고,  활동에 집중한다.) 

… (중략) …

교 사 : 이제 수업 시간이 별로 남지 않았어요. 

위  수학  수업이  브루너의  이론을  반영하였음을  보여  주는  근거 

 가지를 찾아,  그 이유와 함께 서술하시오.  또한 위 수업 상황에서 

가장 두드러지게 나타나는 극단적인 수학 교수학적 현상을 쓰고, 

이 현상을 수업 상황과 관련지어 설명하시오.  [4점]

2. 점화식



  ,     









   









  ( ≥ )

을 만족하는 수열 

의 생성함수와 



  

∞



 의  값을  각각  풀이 

과정과 함께 쓰시오.  [4점]

2016학년도  중등학교교사  임용후보자  선정경쟁시험

수    학

수험 번호 : (   

   )

                 성 명 : (   

   )

제1차 시험

3 교시 전공 B

8문항 40점

시험 시간 90분

수    학  (5면  중 

3 면)

3. 차원 유클리드 공간  

 의 단위벡터(unit  vector)  u 에 대하여 

선형사상    

 →  을

 x  x  x⋅uu

로 정의하자.  모든 벡터  x 에 대하여    x   x 임을 

보이시오.  또한  u 









 







일 때,  의 기저(basis) 

     에 대한  의 행렬    를 풀이 과정과 함께 

쓰시오.  (단,  두 벡터  x,  y에 대하여  x⋅y는  x 와  y의 점곱 

(유클리드 내적,  dot  product,  Euclidean  inner  product)이고, 

 x 은  x 의 유클리드 노름(Euclidean  norm)이다.)  [4점]

4. 양의 정수 에 대하여 함수  

      →  를



   









 cos







로 정의할 때,  함수급수 



  

∞



  가  구간      에서 

미분가능한 함수로 평등수렴(균등수렴,  고른수렴,  uniform 

convergence)함을 보이시오.  [4점]

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

<정 리>

구간      에서 정의된 미분가능한 함수열  에 대하여, 

다음 두 조건 (가),  (나)를 모두 만족하는 함수급수 



  

∞



  는 

    에서 미분가능한 함수로 평등수렴한다.

(가)  급수 



  

∞



   가 수렴하는 점   ∈    가 존재한다.

(나)  함수급수 



  

∞



′  가      에서  평등수렴한다. 

수    학  (5면  중 

4 면)

5. 그림과 같이  차원 유클리드 공간에 밑면이 반지름의 길이가 

 인 원이고 모선의 길이가   인 원뿔이 있다.  이 원뿔의 옆면에 

있는 점   와 밑면에 있는 점   는 같은 모선 위에 있고, 

선분   의 길이는   이다.  점   에서 출발하여 원뿔의 옆면을 

돌아 점   를 지나는 측지선(geodesic)   에 대하여,  점   에서 

원뿔의 옆면의 주곡률(principal  curvature)을 각각   ,   라 하고, 

점   에서 측지선   의 곡률(curvature)을   라 하자.



 ,   의  값을  구하고,  이를  이용하여   의  값을  풀이  과정과 

함께 쓰시오.  [4점]

6. 체  는 유리수 체   위에서 차수(degree)가      인 

갈루아 확대체(정규확대체,  Galois  extension  field,  normal 

extension  field)이고,  갈루아 군(Galois  group)  는 

순환군(cyclic  group)이다.  

 가   의 원소일 때,  

 를 

포함하는   의 부분체의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오.  [5점]

7. 복소함수   



 







 





 의 점  

   에  관한 

테일러(Taylor)  급수 전개를  



  

∞



 

 이라 하자. 

음이 아닌 모든 정수   에 대하여      임을 보이시오. 

또한 복소평면에서 시계반대방향의 단위원         에 대하여 













 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.  [5점]

수    학  (5면  중 

5 면)

8. 다음은 수업 준비를 위한 교사용 보조 자료이다.  수학적 사실을 

정당화하는 과정에서 두드러지게 나타나는 추론 유형을 (가),  (나)

에서  각각  하나씩  찾고,  이  두  유형의  추론을  기초로  정당화의 

지도 방법을 <작성 방법>에 따라 논술하시오.  [10점]

<한  가지  수학적  사실을  정당화하는  두  가지  접근>

밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴에서 평행하지 않은 

한 쌍의 대변의 길이는 서로 같음을 설명하시오.

(가) 

밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴 모양의 종이를 준비한다. 

그림과 같이 윗변의 수직이등분선을 따라 접는다.

평행하지 않은 한 쌍의 대변이 일치하므로,  대변의 길이는 서로 

같다. 

(나)

그림과 같이  

AD󰁚

BC 이고  ∠B  ∠C 인 사다리꼴  ABCD 가 

있다.  

AB 

DC 임을 보이자. 

점  D 에서  

AB 에 평행한  

DE 를 

그으면,  동위각의 성질에 의해서 

∠DEC  ∠B 이다.  그런데 

∠B  ∠C 이므로  ∠DEC  ∠C 이다.  따라서  △DEC 는 

이등변삼각형이므로  

DE 

DC 이다. 

또한  □ABED 는 평행사변형이므로  

AB 

DE 이다. 

따라서  

AB 

DE 이고  

DE 

DC 이므로  

AB 

DC 이다. 

<작성 방법>

◦ 서론,  본론,  결론의 형식을 갖출 것.

◦ 서론  부분에는  (나)와  같은  방법만으로  지도할  때  생길  수 

있는 문제점을 포함할 것.

◦ 본론 부분에는 아래 요소를 포함하여 작성할 것.

- 폴리아(G.  Polya)의 관점에서 두 추론의 역할

- 반 힐레(P.  van  Hiele)의 기하 학습 수준 이론에서 학습 수준을 

제수준 ~ 제수준으로 구분할 때,  제수준과 제수준이 

주는 시사점 

◦ 결론 부분에는   개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 

‘교수․학습 방법’에 제시된 수학적 추론 능력을 신장시키기 

위한 유의사항을 포함할 것.

<수고하셨습니다.>