수 학 [전공 A] (6면 중
2 면)
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
1. 다음은 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정에
제시된 내용 체계의 일부와 수학과 교육과정의 변화에 대한
두 교사의 가상 대화이다.
내용 체계
영역
핵심
개념
내용 요소
문자와
식
다항식
∙문자의 사용과
식의 계산
∙식의 계산
∙다항식의 곱셈과
인수분해
방정식
과
부등식
∙일차방정식
∙일차부등식과 연
립일차방정식
∙이차방정식
확률과
통계
확률
∙확률과 그 기본
성질
통계
∙자료의 정리와
해석
∙대푯값과 산포도
∙( ㉠ )
가상 대화
교사 A : 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 ‘수학’ 과목 교육
과정의 내용 영역은 수와 연산, 문자와 식, 함수,
기하, 확률과 통계입니다.
교사 B : 맞아요. 그런데, 2009 개정 교육과정에 따른 중학교
‘수학’ 과목 교육과정과 어떤 차이가 있나요?
교사 A : 네, 내용 체계에서 확률과 통계 영역의 제시 순서가
바뀌었어요. 그리고 내용 요소에 새롭게 추가된 것이
있어요.
교사 B : 그렇군요. 그러면 문자와 식 영역에도 변화가 있나요?
교사 A : 문자와 식 영역의 내용 중 일부가 바뀌었어요. 다항식
의 곱셈과 인수분해를 통합하여 학습하도록 하였고,
㉡ 2009 개정 교육과정에 따른 중학교 ‘수학’ 과목
교육과정의 문자와 식 영역 ‘용어와 기호’에 있던 내용
중, 2015 개정 교육과정에 따른 고등학교 ‘수학’ 과목
교육과정의 문자와 식 영역 ‘학습 요소’로 이동한 것이
있어요.
위 내용 체계 에서 괄호 안의 ㉠에 들어갈 내용 요소와
가상 대화 의 ㉡에 해당하는 학습 요소를 순서대로 쓰시오. [2점]
2. 위수(order)가 각각 과 인 두 순환군(cyclic group)
과
의 직접곱(직적, direct product) × 이 순환군이 되도록
하는 이상이고 이하인 자연수 의 개수를 구하시오. [2점]
3. 자연수 에 대하여 함수
∞ → 를
max
으로 정의할 때,
lim
→∞
∞
∞
lim
→∞
의 값을 구하시오. (단, max 는 와 중 작지 않은
수이다.) [2점]
2018학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
2 교시 전공 A
14문항 40점
시험 시간 90분
수 학 [전공 A] (6면 중
3 면)
4. 좌표평면에서 영역 가
∈ ≥ ≥ ≤ ≤
일 때, 변수변환 를 사용하여 중적분
의 값을 구하시오. [2점]
5. 확장 복소평면(extended complex plane) ∪∞에서 정의된
일차분수변환(선형분수변환, linear fractional transformation,
bilinear transformation) 가
, ∞
를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [2점]
6. 차원 유클리드 공간
에서 인
단위속력곡선(unit speed curve) →
에 대하여
곡선 →
을
라 하자. 두 벡터 ′, ′′가 서로 수직일 때, 에서
의 곡률(curvature) 의 값을 구하시오. (단, 는 곡선 의
주법벡터장(principal normal vector field)이다.) [2점]
7. 두 이산확률변수 의 결합확률분포가 다음과 같다.
조건 이 주어졌을 때, 확률변수 의 조건부기댓값
(conditional expectation) 을 구하시오. [2점]
수 학 [전공 A] (6면 중
4 면)
8. 점화식
( ≥ )
의 특성다항식(고유다항식, characteristic polynomial)과
이 점화식을 만족시키는 수열
의 일반항 을 각각 구하시오.
[2점]
9. 다음 (가), (나)는 교사 A와 B가 다항식의 곱셈을 지도하는 수업
상황이다.
(가) 교사 A의 수업 상황
교사 A : 다항식의 곱셈에 대한 또 다른 공식을 공부하겠습니다.
다음 공식을 기억하세요.
학
생 : 네, 알겠습니다.
교사 A : 그러면 을 전개해 볼게요.
× × × ×
교사 A : 이제 공식을 이용하여 을 각자 전개해 보세요.
학
생 : (잠시 후) 공식에 대입하여 전개해 보니
이 되었어요.
교사 A : 맞습니다. 공식을 이용하여 또 다른 문제를 풀어
볼까요?
… (하략) …
(나) 교사 B의 수업 상황
교사 B : 을 어떻게 전개하는지 공부하겠습니다.
학
생 : 네, 선생님.
교사 B : 중학교 때 배운 공식 을 기억
하고 있나요?
학
생 : 네. ㉠ 을 로 바꾸어 전개하면
이므로
이 되는 것을 알고 있어요.
교사 B : 맞아요. 그렇다면 은 어떻게 전개할까요?
학
생 : 잘 모르겠어요.
교사 B : 을 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있을까요?
학
생 : 은 와 의 곱입니다. 즉,
이에요.
교사 B : 그러면 을 전개할 수 있을까요?
학
생 : 이므로 분배법칙
을 이용하여 전개하면 될 것 같아요. (잠시 후)
㉡ 아하, 그러면
이므로
은 이네요. 이제 을 어떻게
전개하는지 확실히 알게 되었으니, 혼자서도 할 수
있어요.
교사 B : 그래요. 그러면 은 여러분이 직접 전개해
볼까요?
… (하략) …
위 (가)의 수업 상황에서 발생할 수 있는 극단적인 교수학적 현상
이 무엇인지 쓰고, 그 이유를 설명하시오. 또한 위 (나)의 수업
상황에서 ㉠에서 ㉡으로의 ‘실제적 발달 수준(actual development
level)’의 변화 과정을 비고츠키(L. Vygotsky) 학파의 ‘비계설정
(scaffolding)’에 근거하여 설명하시오. [4점]
수 학 [전공 A] (6면 중
5 면)
10. 다음은 딘즈(Z. Dienes)의 이론에 기초하여 탐구 활동을 강조한
수학 수업에서 사용할 교구 제작 및 활용을 위한 계획서의 일부이다.
교구 제작 및 활용을 위한 계획서
<제작 계획>
◦ 1단계 : 한 변의 길이가 인 정사각형 조각들을 사용하여
(가)와 같이 직사각형 모양 개를 만든다. 이때 각
직사각형 모양을 만드는 데 사용된 정사각형 조각의
개수는 , , , 이다.
(가)
◦ 2단계 : (가)에서 각각의 직사각형 모양을 만드는 데 사용된
모든 정사각형 조각들을 재배치하면 (나)와 같은
큰 정사각형 모양으로 만들 수 있다.
(나)
<활용 계획>
◦ (가)에 있는 정사각형 조각의 총 개수는 임
을 파악한다.
◦ (나)에 있는 큰 정사각형의 한 변의 길이는 임
을 파악한다.
◦ (가)와 (나)에 있는 정사각형 조각의 개수는 서로 같다는 것
을 인식한다.
… (하략) …
※ 필요하면
, , ⋯ , 에서 의 값에 따른 교구를 추가로
만들어 사용할 수 있다.
위 교구를 활용한 고등학교 수열 단원 수학 수업에서 학습자가 형성
하기를 기대하는 일반화된 식을 쓰고, 그 식을 어떻게 유도하였
는지 위 교구와 관련지어 설명하시오. 또한 딘즈의 개념 형성 이론
의 관점에서, 수학 학습을 위해 고안된 교구 또는 구체물 속에 내포
되어 있어야 하는 것이 무엇인지 쓰시오. [4점]
11. ′ 인 함수 → 에 대하여 함수 를
cos
≠
이라 하자. 함수 가 에서 미분가능함을 보이고, ′의
값을 구하시오. [4점]
12. 위상공간
의 부분공간(subspace)
∈
와 집합
에 대하여 함수 → 를
으로 정의하자. 집합 위의 위상 를
⊆
∈
로 정의할 때, 을 원소로 갖는 의 모든 열린집합(open set)의
개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또 위상공간 에서 집합
의 도집합(derived set) ′을 구하시오. (단, 는
위의
보통위상(usual topology)이고, 는 를 넘지 않는 최대 정수
이다.) [4점]
수 학 [전공 A] (6면 중
6 면)
13. 합동식
≡ mod
의 법 에 대한 해의 개수가 가 되도록 하는 이하의
자연수 의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
14. 다음 두 조건을 만족시키는 유한체(finite field)
위의
다항식환(polynomial ring) 의 아이디얼(ideal) 의 개수를
풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
(가) 잉여환(factor ring, quotient ring) 의 위수(order)는
이다.
(나) 의 극대 아이디얼(maximal ideal)의 개수는 이다.
<수고하셨습니다.>
