수 학 [전공 B] (5면 중
2 면)
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
1. 다음은 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의
수와 연산 영역에 제시된 <교수․학습 방법 및 유의 사항>과
<평가 방법 및 유의 사항>의 일부이다.
<교수․학습 방법 및 유의 사항>
∙다양한 상황을 이용하여 음수의 필요성을 인식하게 한다.
∙정수의 사칙계산의 원리는 여러 가지 ㉠ 모델을 이용하여
직관적으로 이해
하게 할 수 있다.
<평가 방법 및 유의 사항>
∙정수, 유리수와 관련하여 지나치게 복잡한 계산을 포함하는
문제는 다루지 않는다.
∙㉡ 사칙계산 이외의 이항연산 문제는 다루지 않는다.
셈돌 모델을 이용하여 를 계산하는 방법을 그림과
함께 설명하고, ㉠ 방법의 한계를 보완하기 위한 지도 방안을 서술
하시오. 또 ㉡ 에 해당하는 수학 문제를 하나 제시하시오. [4점]
2. 어느 회사의 입사 시험 지원자들의 필기시험 점수와 면접시험
점수는 각각 정규분포
, 을 따르고 서로 독립
이라고 한다. 이 회사의 입사 시험 지원자 중에서 임의로 뽑은 한
지원자의 필기시험 점수를 확률변수 , 면접시험 점수를 확률변수
라 하자. 이 지원자의 평균 점수를
라 할 때, 평균
점수가 점 이상일 확률은 P ≥ P ≥ 이다. 이때 의
값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 표준정규분포를 따르는
확률변수이다.) [4점]
3. 실수체 위의 벡터공간
의 기저(basis)
에 대하여
세 벡터 , , 이 일차독립임을 보이시오. 또 모든
성분이 실수인 × 행렬 가
,
,
을 만족시킬 때, 의 행렬식(determinant) det의 값을 풀이
과정과 함께 쓰시오. (단, 는 × 단위행렬이다.) [4점]
2018학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
3 교시 전공 B
8문항 40점
시험 시간 90분
수 학 [전공 B] (5면 중
3 면)
4. 정함수(entire function) 가 모든 복소수 에 대하여 부등식
≤
을 만족시킨다. 일 때, ′의 값을 풀이 과정과 함께
쓰시오. [4점]
※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.
<정 리>
양수 에 대하여 영역 ∈ 에서
함수 가 해석적이고 유계이면 lim
→
가 존재하고 함수
lim
→
는 에서 해석적이다.
5. 곡면
cos sin
위의 점 에서 주곡률(principal curvature) ,
( )의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 점 에서
단위접벡터(unit tangent vector)
방향으로의
법곡률(normal curvature)을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
수 학 [전공 B] (5면 중
4 면)
6. 유리수체 위의 기약다항식(irreducible polynomial) 의
위의 분해체(splitting field) 에 대하여 갈루아 군(Galois
group) 가 아벨군(abelian group)이다.
이때 의 위수(order)가 의 차수 deg와 같음을
보이시오. 또 deg 일 때 의 모든 부분체(subfield)의
개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고 : × 이고
는 소수이다.) [5점]
7. 함수항 급수
∞
tan
가 실수 전체의 집합 에서
점별수렴(pointwise convergence)함을 보이시오. 또 함수
∞
tan
는 균등연속(고른연속, 평등연속, uniformly
continuous)임을 보이시오. (단, tan
→
는
탄젠트함수의 역함수이다.) [5점]
수 학 [전공 B] (5면 중
5 면)
8. 다음 <자료 1>은 원주각의 성질을 지도하는 수업 상황의 일부
이고, <자료 2>는 원주각의 성질을 활용하는 수업 계획서의 일부
이다. <자료 1>과 <자료 2>에 나타난 수업 양상과 이 수업에서
강조되는 수학 교과 역량에 대하여 <작성 방법>에 따라 논술
하시오. [10점]
<자료 1>
교 사 : [그림 1]에서 원주각과 중심각 사이의 관계를 살펴
보았어요. 일반적으로 원주각과 중심각 사이에는 어떤
관계가 성립하는지 발표해 볼까요?
[그림 1]
[그림 2]
[그림 3]
학생 A : 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의
크기의
이라는 관계를 찾을 수 있습니다.
교 사 : 자신의 생각을 잘 말해 주었어요. 다른 의견이 있나요?
학생 B : 선생님, 한 호에서 여러 개의 원주각을 만들 수 있습
니다. [그림 2], [그림 3]의 경우는 [그림 1]과 다르므로
이 관계가 성립하지 않을 것 같습니다. [그림 1]과 같이
중심 O가 ∠APB의 안쪽에 있을 때에만 원주각의
크기가 중심각의 크기의
입니다.
학생 A : [그림 2], [그림 3]에서도 ∠APB는 호 AB에 대한
원주각이므로, 점 P의 위치에 관계없이 성립할 것
같아요.
학생 B : 원주각은 맞지만, 점 P 의 위치가 변하기 때문에 각의
크기도 변할 것입니다. 따라서 성립하지 않을 것 같아요.
교 사 : 두 학생의 의견이 서로 다르네요. 왜 그렇게 생각했
는지 누가 말해 볼까요?
학생 A : 제가 말해 볼게요. [그림 3]의 경우,
[그림 4]와 같이 지름
PQ 를 그으면
삼각형의 두 내각과 이웃하지 않는
한 외각의 크기에 대한 성질을 이용
하여 [그림 1]처럼 원주각과 중심각
사이의 관계를 설명할 수 있어요.
학생 C : 맞아요. [그림 2]의 경우에도 비슷한 방법으로 설명할
수 있어요.
학생 B : 그러네요. 점 P 의 위치에 관계없이 모든 경우에
성립한다는 것을 알게 되었어요. 이것을 간단히
∠APB
∠AOB라고 표현해도 좋을 것 같아요.
… (중략) …
교 사 : 지금까지 여러분들의 토론을 종합하면, ‘한 원에서
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 그 크기는
중심각의 크기의
이다’ 라고 합의할 수 있습니다.
[그림 4]
<자료 2>
◦ 도입 : 교사는 선수 학습 내용을 확인하고, 실세계 현상을
기초로 하는 비수학적 문제 상황을 제시한다. 학생은 제시된
문제가 현실과 결부되어 있음을 이해하고 탐색한다.
문제 그림과 같이 도로 한쪽 편에 스크린이 설치되어 있다.
스크린이 있는 반대편에서 도로를 따라 이동하면서 스크린을
촬영하려고 한다. 스크린 좌우 양 끝점과 카메라가 이루는
각의 크기가 최대가 되는 카메라의 위치를 결정하시오.
◦ 전개
∙1단계 : 주어진 실세계 문제에서 수학적 측면을 알아내고
규칙성을 발견하도록 한다.
∙2단계 : 현실과 결부된 문제 상황을 다음과 같이 변환한다.
선분 AB와 직선 이 주어져 있다. 점 P 가 직선 위를 움직
일 때, ∠APB의 크기가 최대가 되는 점 P의 위치는?
∙3단계 : 문제를 다음과 같이 수학적으로 해결한다.
두 점 A, B를 지나는 다양한 크기의 원을 작도하고,
호 AB에 대한 원주각의 크기를 이용하여 문제를 해결한다.
⋯ (하략) ⋯
<작성 방법>
◦ 서론, 본론, 결론의 형식을 갖출 것.
◦ 서론 부분에는 사회적 구성주의와 급진적 구성주의의 차이점,
현실주의적 수학교육에서 수학화의 의미를 각각 제시할 것.
◦ 본론 부분에는 다음을 포함할 것.
첫째, <자료 1>의 수업 상황을 사회적 구성주의 이론의
‘객관화된 수학 지식을 얻기까지 거쳐야 할 과정’의 관점
에서 분석한 내용.
둘째, <자료 2>의 수업 계획서를 현실주의적 수학교육 이론
의 ‘수학화 과정’의 관점에서 분석한 내용.
◦ 결론 부분에는 <자료 1>에서 의사소통 역량, <자료 2>에서
문제 해결 역량이 각각 강조되는 이유를 2015 개정 교육
과정에 따른 수학과 교육과정의 ‘교수․학습 방법’ 중 문제
해결 능력, 의사소통 능력 함양을 위해 제시한 사항에 근거
하여 각각 설명할 것.
<수고하셨습니다.>
