수    학  [전공 B]  (5면  중 

2 면)

 ◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 수학 수업에서 발생할 수 있는 교수․학습 현상을 분석

하기 위하여 수집한 수학 교사와의 면담 내용의 일부이다.

<김  교사의  사례>

“학생들이 ㉠ 수 개념을 크기와 관련짓는 것은 자연수를 학습

하는 상황에서는 유용하지만,  음수를 학습하게 될 때는 오히려 

그것이 수 개념을 확장하는 데 방해

가 되는 것 같아요.” 

<박  교사의  사례>

“저는  수학  시간에  열심히  가르치는데,  학생들이  잘  이해하지 

못하는 경우가 종종 있어요.  그래서 ㉡ 학생들에게 이해할 시간을 

주지 않고 문제 해결을 위한 명백한 실마리를 성급하게 제공하거나 

유도 질문을 통해 답을 가르쳐 주는 경우

가 많습니다.”

브루소(G.  Brousseau)의 수학 교수학적 상황론에서 ㉠을 설명할 수 

있는  개념을  쓰고,  이를  극복하기  위하여  역사  발생적  측면에서 

음수의  정의를  어떻게  도입할  수  있는지를  서술하시오.  그리고 

㉡과  같은  극단적인  교수  현상을  설명할  수  있는  개념을  쓰고, 

이 현상이 일어나는 이유를 설명하시오.  [4점]

2. 어느 지역 고등학생들의 몸무게(kg)는 정규분포    

 을 

따른다고 한다.  이 지역의 고등학생 중에서 임의로 추출한  명의 

몸무게에 대한 표본평균을  

 라 하자.

P 

        

을 만족시키는 상수   의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

또한  명의 표본으로부터 관측된 표본평균의 값이  일 때,

모평균   에 대한  %  신뢰구간(confidence  interval)을 풀이 과정과 

함께  쓰시오.  (단,  표준정규분포를  따르는  확률변수   에  대하여 

P     이고,  모평균에 대한 신뢰구간은 양면신뢰구간

(two-sided  confidence  interval)을 의미한다.)  [4점]

3. 자연수 에 대하여 집합  

 을 



   ∈   

 ≡ mod   ≤  ≤ 

으로 정의할 때,  집합  의 원소의 개수가  이 되도록 하는 

  이하의 자연수  의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

(단,  은 자연수 전체의 집합이고,   ∈은     이하의 자연수 

중에서  과 서로소인 수의 개수로 정의되는 오일러  -함수이다.) 

[4점]

2019학년도  중등학교교사  임용후보자  선정경쟁시험

수    학

수험 번호 : (   

     )

                   성 명 : (   

     )

제1차 시험

3 교시 전공 B

8문항 40점

시험 시간 90분

수    학  [전공 B]  (5면  중 

3 면)

4. 실숫값을 갖는 두 함수

 ,     

  cos  sin 

와 복소수         ( 는 실수)에 대하여,

      가 정함수(entire  function)이다.

곡선   가    cos   sin   ≤  ≤ 로 정의된 원일 때,





        

이다.  의 값과 함수  를 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[4점]

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

복소평면의 열린 집합   에서 해석적인 함수     →  에 

대하여,     이고 

 ∈     ≤ ⊂  이면

    



 







  

  

이다.

5.  차원 유클리드 공간 

에서 곡면     





   과

평면           가 한 점   에서 접할 때,  상수   의 값을 

구하시오.  또한 접점   에서 곡면   의 가우스곡률(Gaussian 

curvature)   의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.  [4점]

수    학  [전공 B]  (5면  중 

4 면)

6. 유리수체   위에서 대수적인 두 실수  에 대하여 단순 확대체

(simple  extension)     가    위의  갈루아  확대체(정규 

확대체,  Galois  extension  field,  normal  extension  field)이고 갈루아군

(Galois  group)  가 아벨군(abelian  group)이라 하자. 



  ∈이고  ≠ 일  때,  의  위수(order)는  짝수임을 

보이시오.  또한  의  위수를  이라  할  때,  자연수  의 

각각의 양의 약수  에 대하여  에 속하고 모든 근이 실수이며 

차수가  인,    위의 기약다항식(irreducible  polynomial)이 존재함을 

보이시오.  (단,    

  이고  는    위의  다항식환(polynomial 

ring)이다.)  [5점]

7. 실수열 을 



  



    

 







 ≥ 

로  정의하자.  모든  자연수   에  대하여   ≤  ≤  임을  보이고, 

수열 

이 수렴함을 보이시오.  [5점]

수    학  [전공 B]  (5면  중 

5 면)

8. <자료 1>은 절대부등식을 증명하는 수업 과정에서 학생이 새로운 

추측을  제기하는  상황이고,  <자료  2>는  김  교사가  <자료  1>의 

수업 과정에서 제기된 추측의 증명을 지도하기 위해 작성한 교수․

학습 계획서의 일부이다.  <자료 2>를 토대로 <자료 1>에서 추측한 

명제의 증명을 지도하기 위한 교수․학습 방안을 <작성 방법>에 

따라 논술하시오.  [10점]

<자료 1>

… (상략) …

김 교사 : 지금까지 두 실수   에 대하여 절대부등식 



  ≥  가 성립함을 증명해 보았습니다.

학 생 1 : 선생님,  오늘 배운 절대부등식을 보면 세 실수   에 

대하여 부등식  

   ≥  도 성립할 것 같습

니다.

학 생 2 : 저는 부등식 

   ≥    가 성립할 것 

같습니다.

김  교사 : 모두  좋은  추측입니다.  두  추측은  모두  참일까요? 

여러분은 어떻게 생각합니까?

학 생 들 : (서로 다른 반응을 보이며 호기심을 가진다.)

김 교사 : 그럼 다음 시간에 확인해  봅시다.

<자료 2>

(가)  증명  지도  계획

◦ 수학에 대한 다음  가지 관점을 활용한다.

관점

수학관

A

수학은  준경험적이고  오류  가능하며  인간의  창조적 
활동의 산물이다.  수학적 지식은 절대적 진리도 아니고 
절대적 확실성도 갖지 않으며 끊임없는 개선의 여지가 
있다.

B

수학의 형성 과정에서 사회의 역할을 강조한다.  수학적 
지식은 절대적인 진리로서 객관적인 것이 아니라 사회적
으로 객관적인 것이다.

◦ 명제는 다음과 같이 증명한다.

명제

    세 실수    에 대하여 부등식

    

   ≥   

    가 성립한다.

증명

    세 실수    에 대하여

    

  ≥ 

    

  ≥  

    

  ≥ 

    이므로,

    

   ≥   

    이다.

… (중략) …

(나)  평가  계획

◦ 교수․학습 과정에서 학생의 의사소통 능력과 태도 및 실천 

능력을 평가한다. 

◦ 관찰 평가 도구

관찰  항목

이름

S1

S2

… S21

의사
소통

㉠

다양한  관점을  존중하며  다른 
사람의 아이디어를 이해한다.

◦ 자기 평가 도구

점검  항목

그렇다

보통
이다

그렇지

않다

태도

및

실천

㉡

다른 사람의 의견을 존중하며 
협력하였다.

<작성 방법>

◦ 서론,  본론,  결론의 형식을 갖출 것.

◦ 서론  부분에는  <자료  1>에서  학생이  사용한  추론  유형과 

이  추론에 근거하여 보완해야 할 점을 제시할 것.

◦ 본론 부분에는 다음 요소를 포함할 것.

- <자료 2>의 관점 A에서 본 증명의 의미와 그 의미를 근거로 

한 교사의 활동  가지

- <자료 2>의 관점 B에서 본 증명의 의미와 그 의미를 근거로 

한 교사의 활동  가지

- 2015  개정 수학과 교육과정의 ‘교수․학습 방법’에서 의사소통 

능력,  태도 및 실천 능력 함양을 위해 강조한 사항을 근거로 

하여 <자료 2>의 ㉠과 ㉡에 들어가는 항목 각각  가지

<수고하셨습니다.>