수    학  [전공 A]  (7면  중 

2 면)

 

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 함수와 관련한 수학사 자료를 순서 없이 제시한 것이다. 

(가)∼(마)를 함수 개념이 발생한 순서대로 배열하시오.  [2점]

(가)

고대 바빌로니아나 그리스에서 천문학을 연구했던 사람들은 
태양,  달,  행성 등의 변화를 관찰하여 수표를 작성하였다.  이 
시기 사람들은 수표를 사용하여 천체 운동을 서술하고 주기
성을 발견하였다.  삼각함수의 기원을 이 시기에서 찾을 수 
있다. 

(나)

비에트(F.  Viète)가 문자를 사용하는 방식을 발전시키고 데카
르트(R.  Descartes)가 해석기하학을 창안한 것에 기초하여 
함수를 대수적으로 연구하게 되었다.  라는 기호를 처음
으로 사용한 오일러(L.  Euler)는 변수와 상수가 결합된 방식에 
따라 함수를 분류했다.  이 시기에 이르러 독립변수와 종속변
수의 구분이 명확해졌다.

(다)

해석학을 엄밀하게 만들기 위해 함수의 연속성과 미분가능성에 
대한 연구가 이루어졌다.  데데킨트(R.  Dedekind),  칸토어(G. 
Cantor)  등이 실수의 구조를 엄밀하게 하여 해석학을 발전시켰
다.  부르바키(Bourbaki)  학파는 집합론에 기초하여 ‘순서쌍의 
집합의 부분집합’이 어떤 특정한 조건을  만족할 때 그 부분집합
을 함수로 정의하였다.

(라)

이 당시 학자들은 주로 운동을 나타내는 곡선을 중심으로 곡
선의 접선,  곡선 아래의 넓이,  곡선의 길이,  곡선을 따라 움직
이는 점의 속도 등을 연구하였다.  갈릴레이(G.  Galilei)는 등가
속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리와 시간의 관계를 연구
하였는데,  과학에서 이루어진 운동에 대한 연구가 함수를 
개념화하는 데 기여하였다. 

(마)

푸리에(Fourier)  급수나 디리클레(Dirichlet)  함수에 대한 연구 
결과로 인하여 함수 개념을 새롭게 정의할 필요성이 생겨났다. 
일가성과 임의성을 가지는 대응으로 함수를 정의함으로써 한 
변수의 각 값에 다른 변수의 유일한 값이 대응되느냐 되지 
않느냐는 논리적 조건에만 관심을 갖게 되었다.

2. 좌표평면에서 곡선 

   과 직선   로 둘러싸인 부분을  라 

하고 영역  의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 

곡선을   라 하자.  영역   의 넓이와 선적분 





     의 

값을 각각 구하시오.  [2점]

2020학년도  중등학교교사  임용후보자  선정경쟁시험

수    학

수험 번호 : (   

     )

                   성 명 : (   

     )

제1차 시험

2 교시 전공 A

12문항 40점

시험 시간 90분

수    학  [전공 A]  (7면  중 

3 면)

3. 차원 유클리드 공간  

 에서 곡선 

    cos,    sin ,     (    ) 

위의 점  에서의 접벡터(tangent  vector)가 벡터    와 

평행하다.  의 값과   일 때 곡선  의 비틀림률(열률,  꼬임률, 

torsion)을 각각 구하시오.  [2점]

4. 대칭군(symmetric  group)  

 와  덧셈  순환군(additive  cyclic 

group)   의 직접곱(직적,  direct  product)   ×에 대하여, 



 의 원소   





    
     의 위수(order)와 



 × 의 원소   의 

위수를 각각 구하시오.  [2점]

수    학  [전공 A]  (7면  중 

4 면)

5. 두빈스키(E.  Dubinsky)는 스키마 구성을 설명하는 APOS  이론을 

제안하였다.  A는  행동(Action),  P는  과정(Process),  O는  대상

(Object),  S는  스키마(Schema)를  의미한다.  다음은  수학교육론 

강의  시간에  교수가  APOS  이론을  설명하기  위해  제시한  두  고

등학생의 학습 일지이다.

민수의 학습 일지

나는 

    ÷ 와 같은 형태의 나눗셈 문제를 

조립제법으로 풀 수 있다. 그런데 선생님께서 오늘 수업 시간에 
조립제법에서  사용하는  여러  값을  차례로  입력하면  나눗셈 
결과가 나오는 컴퓨터 프로그램을 보여주시면서, 프로그램 안에 
포함된 계산 과정을 설명해보라고 하셨다. 이 컴퓨터 프로
그램을 잘 모르는 내 친구는 잘 설명했는데, 이 프로그램을 
잘 다루는 나는 설명하지 못해서 속상했다. 

재희의 학습 일지

나는 오늘 수업 시간에 함수와 관련된 어려움을 겪었다. “두 함수 

, 의 합   를 두 수의 합   처럼 생각하면 된다.”라고 

하신 선생님 말씀이 잘 이해되지 않았다. 내가 아는 함수는 의 
값을 넣으면 의 값이 나오는 것이었는데…. “함수 나 를 나 과 
같은 수처럼 다룰 수 있을까?”라는 의문이 들었다. 

민수의 학습 일지 에 서술된 상황을 ‘행동’  및 ‘과정’과 관련지어 

설명하고,  재희의 학습 일지 에 서술된 상황을 ‘과정’  및 ‘대상’과 

관련지어 설명하시오.  [4점]

6. 다음은  윤  교사가  고등학교  수학  ‘도형의  방정식’  단원에서 

사용한 활동 과제 중 3가지를 나타낸 것이다.

(1)  다음 [그림 1],  [그림 2],  [그림 3]은 축구공이 골라인을 나타

내는 직선 을 지나가는 상황을 차례로 찍은 사진이다.  [그

림 1],  [그림 2],  [그림 3]에서 각각 직선  을  축으로 하여 

좌표축을 설정하고 축구공을 나타내는 원을 식으로 표현하

시오. 

[그림 1]

[그림 2]

[그림 3]

(2)  좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 알아보시오.

(3) 원     과 직선      의 위치 관계를 이차방정식의 

판별식을 이용하여 설명하시오.

※ 준비물:  삼각자

트레퍼스(A.  Treffers)가 제시한 수평적 수학화와 수직적 수학화의 

의미를 설명하고,  윤 교사의 활동 과제를 수평적 수학화와 수직적 

수학화의 관점에서 분석하여 서술하시오.  [4점]

수    학  [전공 A]  (7면  중 

5 면)

7. 합동방정식 ≡

 mod ⋅과 연립합동방정식 

 ≡ 

mod 

 ≡  mod  이 동치가 되도록 하는 정수 

,   의 값을 각각 

구하시오.  또한 합동방정식의 정수해   의 값을 풀이 과정과 

함께 쓰시오.  (단,   ≤   ,   ≤   ,   ≤   )  [4점]

8. 점화식 



   ,         

  ( ≥ )

을 만족하는 수열 

의 생성함수(generating  function)  를 

풀이 과정과 함께 쓰시오.  또한 함수 

 











 





   



그 외의 경우

 

가 연속확률변수  의 확률밀도함수일 때,  확률변수  의 기댓값을 

풀이 과정과 함께 쓰시오.  [4점]

수    학  [전공 A]  (7면  중 

6 면)

9. 정의역이 ∈      인 함수    

  



  

의 

  에서의 차 테일러 다항식을 구하시오.  또한 복소평면에서 

원점을  중심으로 하고 반지름의 길이가  



인 원을 

시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선   에 대하여 선적분 









  



  

 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.  [4점]

10. 실수체  의 원소   

  

 에 대하여 환준동형사상(ring 

homomorphism)     → 를    로 정의하자. 

사상  의 핵(kernel)을   라 할 때,   〈〉를 만족하는 

최고차항의 계수가  인 기약다항식(irreducible  polynomial) 

를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 

또한 잉여환(상환,  factor  ring,  quotient  ring)   의 원소 

    의 곱셈에 대한 역원을   라 할 때, 
deg  deg인 다항식  를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 

(단,  는 유리수체     위의 다항식환이고,  deg는 다항식 

의 차수이다.)  [4점]

수    학  [전공 A]  (7면  중 

7 면)

11. 실수 전체의 집합  의 보통 위상을  

 라  하고, 

함수     →     (   )를 



  

⌊⌋,      ⌊ ⌋

로 정의하자.  집합





      ∈

∪

      ∈



을 부분기저(subbase,  subbasis)로 하여 생성된   의 위상을   라 

정의하자.  위상공간   에서  

 를 포함하는 성분(연결성분, 

component,  connected  component)을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 

또한   에서 집합 












 




의 내부(interior)와 폐포(closure)를 

구하시오.  (단, 












 




 

∈





≤  ≤ 

이고, 

⌊⌋는  를 넘지 않는 최대 정수이다.)  [4점]

12. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수   에 대하여 

         ≤  ≤ 

라 하자.  다음 명제  의 대우명제를 쓰고,   를 증명하시오.  [4점]

  :  모든  ∈에 대하여  ≠ 이거나   ′≠ 이면 

         는 유한집합이다.

   

<수고하셨습니다.>