수    학  [전공 B]  (7면  중 

2 면)

 ◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 윤 교사와 강 교사가 수업을 반성하는 대화의 일부이다.

윤 교사

: 그림과 같이 지름의 길이가 인 원 O  위의 점 A에서 

지름에  내린  수선의  발을  B라  하고,  

AB 일  때, 

원의 중심 O에서 점 B까지의 거리 의 값을 구하게 

하였더니 어떤 학생이  의 값을 구하지 못하더군요. 

피타고라스  정리를  알고  이차방정식을  비교적  잘 

푸는 학생임에도 불구하고 말이지요.

강 교사 : ㉠ 선분  OA를 직각삼각형  OAB의 빗변으로 보면서 

동시에  원  O의  반지름으로  보는  것과  같이  문제의 

내적인 구조적 관련성을  파악하는 과정이 없었던 것이 

아닐까요?

윤 교사 : 저도  그렇게  생각합니다.  ㉡ 전체에  대한  부분의 

구조적  기능이  파악되어  ‘구조의  개선적  변화’가 

일어나는  지적  과정에  더욱  관심을  기울여야겠다는 

생각을 하게 되었습니다.

형태심리학에서 ㉠을 설명하는 용어와 베르트하이머(M.  Wertheimer)가 

㉡을 설명하는 용어를 순서대로 쓰시오.  [2점]

2. 집합      에서  정의된  두  위상  

,  는  다음  조건을 

만족시킨다.

(가) 

  

(나)   은 연결공간(connected  space)이다.

(다)   는 비연결공간(disconnected  space)이다.

이때 ,  를 각각 개씩 구하시오.  (단,  는 집합 의 원소의 

개수이다.)  [2점]

2021학년도  중등학교교사  임용후보자  선정경쟁시험

수    학

수험 번호 : (   

     )

                   성 명 : (   

     )

제1차 시험

3 교시 전공 B

11문항 40점

시험 시간 90분

수    학  [전공 B]  (7면  중 

3 면)

3. 다음은 김 교사가 베커(A.  Bakker)의 통계 교육 이론에 기초하여 

중학교 3학년 통계 단원 수업을 한 후 작성한 수업일지의 일부이다.

나는 도입 단계에서 다음과 같은 <자료>를 학생들에게 제시

하며 통계가 현실과 단절된 수량적인 자료의 계산 체계가 아님을 

알려주고자 하였다.

<자료>

어느  학자에  따르면,  역사적으로  평균  개념은  큰  수를 

대략적으로  추정하기  위한  상황에서  활용되었다고  한다. 

고대 인도의 이야기 속 주인공은 나무 한 그루에 달린 나뭇잎과 

과일의 총수를 알아보기 위해 우선 평균 크기의 나뭇가지를 

선택하고,  그 나뭇가지에 달린 나뭇잎과 과일 수를 헤아린 후 

전체 나무에 달린 나뭇잎과 과일 수를 추정하였다. 

본시 학습에서는 그림 속 양의 개체수를 추정하는 활동 과제를 

제시하였다.  각각의  학생들은  자신만의  큰  수  추정  방법을 

활용하여 몇 마리의 양이 있는지를 (a),  (b),  (c),  (d)와 같이 

찾아내었다.

(a) 묶음을 만들어서 각 묶음에 

실제로  몇  마리의  양이 
있는지 세어 합하였다.

(b) 하나의 수를 먼저 정한 후, 

그 수만큼의 양이 들어 있는 
묶음을 표시하고 그 크기의 
묶음이  몇  개인지를  어림
하여 계산하였다.

(c) 그림의 위쪽 모서리와 오른쪽 

모서리를  따라  각각  양의 
수를 구한 후,  그 두 수를 
곱하여 전체 양의 수를 어림
하였다.

(d) 격자를 만들어 격자 속 양의 

수가  평균적인  것에  해당
되는 것을  고른 후 그 안에 
들어 있는 양의 수를 세어 
격자의 수에  곱하였다. 

㉠ 학생들은  통계의  주요  개념의  역사를  살펴보면서  주어진 

상황을 탐색하고,  상황 속 문제 해결의 방법

을 배웠다.

베커의  이론에  기초한  통계  수업을  진행할  때  얻을  수  있는 

교육적  의의를  위  수업일지에  근거하여  2가지  제시하시오.  그리고 

㉠과 관련지어 (a)와 (d)를 비교하여 설명하시오.  [4점]

4. 다음은  최  교사가  고등학교  ‘수학’에서  다루는  내용을  소재로 

수학  동아리  학생들과  진행할  수업에  대하여  정  교사와  나눈 

대화의 일부이다.

최 교사

: ‘수학자처럼 꼼꼼해지기’라는 주제로 동아리 학생들과 

수업을  진행하려고  합니다.  아래의 

를  소재로 

삼아 수업을 하려고 하는데요.  수업 준비를 위해 어떤 
사고 실험을 할 수 있을까요?

다음 도형을 이용하여 인수분해 공식



       이 성립함을 설명해 보자.

정 교사

: “,  ,    가 양수이다.”,  “입체도형을 분리하여 만든 

새로운 입체도형들의 부피의 합은 분리하기 전 입체
도형의 부피와 같다.”,  “도형을 분리할 때 새로 생성된 
면은 부피에 영향을 주지 않는다.”  등 여러 가지 숨겨진 
가정을 생각해 보고 그 가정을 학생이 찾아내도록 하는 
발문도 생각해 보면 좋겠습니다.

최 교사

: “직육면체의 부피를  ,  밑면의 넓이를  ,  높이를  

라고 할 때,     이다.”라는 것도 

에서 사용

됩니다.  학생들이 이 공식을 배운 시점에서는 유리수 
범위에서만 수를 다루었기 때문에 ㉠ 모서리의 길이 중 
하나 이상이 양의 무리수인 경우에 대해서 이 공식 

   를 정당화하는 과정도  생각해 보면 좋겠습니다.

정 교사

: 직육면체 모서리의 길이가 양의 유리수인 경우,  모서리의 

길이가 인 정육면체를 적절하게 등분하여 만든 작은 

정육면체를  여러  개  사용하여,  주어진  직육면체를 

구성하는  과정을  이용해  이  공식을  정당화할  수 

있습니다.  하지만 모서리의 길이 중 하나 이상이 양의 

무리수인 경우에는 이 공식을 체계적으로 정당화하기 

위해 여러 가지 배경 지식이나 소양이 필요하기 때문에 

학생 수준을 고려하여 수업을 준비하여야 할 것 같습니다.

프로이덴탈(H.  Freudenthal)이 말하는 사고 실험의 의미를 설명하고, 

㉠에 대한 최 교사의 사고 실험을 수업 내용에 중점을 두고 예상하여 

서술하시오.  [4점]

수    학  [전공 B]  (7면  중 

4 면)

5. 다음은 김 교사가 계획한 중학교 3학년 원의 현에 대한 단원의 

교수․학습 지도안의 일부이다.

학습 목표

원의 현에 관한 성질을 이해한다.

단계

교수․학습 활동

도입

∙준비 학습 : 전시 학습을 상기하도록 안내한다. 

∙동기 유발 : 실생활에서 원의 성질을 응용한 여러 

사례를 살펴본다. 

∙본시 학습 목표를 확인한다.

전
개

∙다음 활동에 학생들이 자발적으로 참여하도록 

유도한다.

① [그림  1]과  같이  원  모양의  색종이를  완전히 

포개어지도록  반으로  두  번  접어  원의  중심 

O를 찾는다.

② 다시  처음  상태에서  색종이를  반으로  접고 

[그림 2]와 같이 접은 후 펼친다.

③ [그림 3]과 같이 네 점  A B C D를 잡는다.

④ 점  A와 점  B,  그리고 점  C와 점  D가 서로 

겹치도록  색종이를  각각  접었다  펼친  후, 
[그림 4]와 같이 현 AB의 중점 M과 현 CD의 
중점  N을 찾는다.

      [그림 1]  [그림 2]        [그림 3]              [그림 4]

⑤ 

OM 

ON임을 확인한다.

∙친구들과  자유롭게  토의․토론하면서 

을 

통해  ‘길이가  같은  두  현은  원의  중심으로부터 
같은  거리에  있다.’는  성질을  학생이  정리할  수 
있도록 허용적인 분위기를 조성한다.

∙학생이 정리한 현에 관한 성질에서 ‘원의 중심으로 

부터  같은  거리에  있는  두  현의  길이는  같다.’는 
성질을 재구성해 보도록 안내한다.

∙현에  관한  성질을  연역적으로  논증하기  등  학생 

수준에 맞게 정당화 방법을 활용한다.

정리

∙본시 학습 내용을 정리한다.
∙다음 차시를 예고한다.

딘즈(Z.  Dienes)가  제안한  수학  학습  원리  중  1가지를  사용하여 

교수․학습 지도안의 전개 단계를 

로 실행하려는 이유를 

설명하시오.  그리고 

과정 없이 ‘도입 → 전개(

) → 정리’로 

수업을 진행한다고 했을 때 김 교사의 수업을 피아제(J.  Piaget)의 

반영적 추상화의 메커니즘과 관련지어 평가하시오.  [4점]

6. 행렬  













  
  
   

에 대하여    

 을 만족하는 

행렬   















  

  
  

와 가역행렬  를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 

또한 행렬  

의  행  열의 성분을 구하시오. 

(단,   ≤  ≤ 이고  은 자연수이다.)  [4점]

수    학  [전공 B]  (7면  중 

5 면)

7. 연속함수     →   은   에서 미분가능하다. 

모든  ∈ 에  대하여   ′≠일  때,     ≤  ≤ 을 

만족하는  가 유일하게 존재함을 증명하시오.  [4점]

8. 복소함수  

  에 대하여 











 ′



의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

여기서   는  복소평면에서  점 







 

을 중심으로 하고 반지름의 

길이가  인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.  [4점]

수    학  [전공 B]  (7면  중 

6 면)

9. 

 ,   ,   을 균등분포(uniform  distribution)   로부터의 

확률표본(random  sample)이라  하고,   를   ,   ,   의 중앙값

(median)이라 하자.

이때   의 누적분포함수(cumulative  distribution  function)와 

 의 확률밀도함수(probability  density  function)를 풀이 과정과 

함께 쓰시오.  [4점]

10. 차원 유클리드 공간 

에서 곡선 

   

        ∊ 

를   축을 중심으로  

∘회전시켜 얻은 회전체를  이라 하고,

 의 가우스 곡률(Gaussian  curvature)을   라 하자.  영역

    ∊ │  ≤  ≤ 

에 대하여 





 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.  [4점]

<수고하셨습니다.>

수    학  [전공 B]  (7면  중 

7 면)

11. 유리수체    위에서  다항식  

  의  분해체(splitting  field)를 

 라  하자.  체  





 가   의  부분체임을  증명하고,   의  원소

  









 









의    위에서의  기약다항식(irreducible  polynomial)  irr 를 

풀이 과정과 함께 쓰시오.  (단,    

  )  [4점]