수 학 [전공 A] (8면 중
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◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
1. 다음은 학기 초에 평가 계획을 세우는 수학 교사들의 대화이다.
괄호 안의 ㉠에 공통으로 해당하는 수학 교과 역량과 괄호 안의
㉡에 공통으로 해당하는 평가 방법을 2015 개정 수학과 교육과정
(교육부 고시 제2020-236호)에 제시된 용어로 쓰시오. [2점]
김 교사 : 2015 개정 수학과 교육과정에서는 수학의 개념, 원리,
법칙, 기능뿐만 아니라 수학 교과 역량을 균형 있게
평가한다는 평가 원칙을 제시하고 있습니다. 수학
교과 역량을 포함하여 평가 계획을 세워 봅시다.
이 교사 : 수학 교과 역량에 따라 평가 방법을 달리 해야 할 것
같습니다.
김 교사 : 그렇죠. 2015 개정 수학과 교육과정에 제시된 내용의
일부를 참고해 봅시다.
( ㉠ ) : 수학의 가치를 인식하고 자주적 수학 학습 태도와
민주 시민 의식을 갖추어 실천하는 능력
( ㉡ ) : 학생 스스로 자신의 이해와 수행을 평가하는
방법으로, 문제 해결과 추론 과정의 반성이나
자신의 생각 표현 등을 평가할 때 활용할 수 있다.
이 교사 : ( ㉠ )을/를 평가할 때 ( ㉡ )을/를 활용하면
좋겠습니다.
2. 실수 에 대하여
라 할 때, 와
lim
→
의 값을 순서대로 쓰시오.
(단, ∊
≤ 이다.) [2점]
2022학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
2 교시 전공 A
12문항 40점
시험 시간 90분
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3. 환(ring)
에서 모든 단원(unit, unit element)들의 집합
∗
는
순환군(cyclic group)이다.
∗
의 생성원(generator)을 모두 쓰시오.
[2점]
4. 두 확률변수 와 의 결합확률질량함수(joint probability mass
function)가 다음과 같다.
의 기댓값이
일 때, ×
의 값과 조건부확률
≤ 의 값을 순서대로 쓰시오. [2점]
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5. 다음은 ○○고등학교의 학생회가 주최하는 행사의 포스터를 보고
두 교사가 나눈 대화이다.
이웃 사랑 챌린지
학생 여러분, 우리 학교의 한 학생이 난치병에 걸렸는데
치료를 위해서는 30,000,000원이 필요하다고 합니다.
학생회에서는 치료비 마련을 돕기 위해 이웃 사랑 챌린지를
계획하였습니다. 챌린지는 참가자가 줄넘기 300회 미션을
수행한 후 두 명을 지목하면, 지목받은 참가자들이 미션을
수행하고 각자 또 두 명을 지목하는 방식으로 진행됩니다.
난치병 협회의 후원을 받아 참가자 한 명당 기부금
10,000원이 적립됩니다. 학생회장이 첫 참가자로서 챌린지를
시작할 예정입니다. 교내외에 많이 홍보해 주세요.
○○고등학교 학생회
윤 교사 : 학생들이 자발적으로 좋은 일을 하고 있네요. 선생님들도
동참해야겠어요.
강 교사 : 네, 학생들이 정말 대견하네요. 저는 이 행사를 홍보하고
추진하는 데 도움을 주고자 수학 수업에서 이 내용을
다뤄 보고자 해요.
윤 교사 : 어떻게요?
강 교사 : ㉠ 크라벤담(H. Krabbendam)의 그래프에 대한 질적
접근 관점에서 이웃 사랑 챌린지가 진행되는 상황을
다루는 수업을 해 볼까 합니다.
윤 교사 : 그 후에 ㉡ 그래프를 좀 더 정확하게 표현하는 정교화
활동을 하면 어떨까요?
강 교사 : 네, 수업에 반영해 보겠습니다.
윤 교사 : 저도 이웃 사랑 챌린지를 수업에서 다뤄 봐야겠어요.
학생들이 기획한 이웃 사랑 챌린지를 실세계 현상으로
하여 원을 모으려면 최소 몇 단계까지
미션을 수행해야 하는지 알아보게 하는 거죠. 물론
학생들이 계획한 대로 이상적으로 진행된다고 가정
해서요.
⋮
그러면 학생들이 수학적 모델을 만들고 분석해서
수학적 결과를 생성한 후 현상에 맞게 결론을 도출하게
될 거예요.
강 교사 : 학생들이 수학적 모델링도 경험할 수 있는 좋은
아이디어 같아요.
밑줄 친 ㉠에 포함해야 할 활동을 서술하고, 밑줄 친 ㉡의 예를
가지 제시하시오.
또한, 윤 교사의 수업에서, 이웃 사랑 챌린지가 이상적으로 진행된다고
가정할 때 학생들이 실세계 현상으로부터 만들어야 할 수학적 모델과
도출해야 하는 결론을 각각 쓰시오. [4점]
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6. 다음은 수학사의 활용에 대해 논의하고 있는 교사들의 대화이다.
박 교사 : 수학사를 수업에서 활용하는 방법에는 어떤 것이
있을까요? 각자의 경험을 함께 얘기해 봅시다.
최 교사 : 저는 수학자들의 이야기를 해 주면서 학생들의 흥미를
유발한 적이 있습니다. “우리는 언제부터 문자를
사용해서 방정식을 나타내고 풀게 되었을까?”라고
질문하면서, 아주 옛날에는 문제의 풀이를 일상 언어
만으로 기술했지만 약 3세기 디오판토스(Diophantus)
이후 미지수를 문자로 표현하였고, 16세기 프랑스의
수학자 비에트(F. Viète) 이후 ㉠ 방정식에서 문자의
사용 범위가 확대되었다는 이야기를 해 주었습니다.
김 교사 : 저는 학생들에게 피타고라스 정리가 성립함을 설명
하는 방법이 많다고 얘기해 주면서, 인도의 수학자
바스카라(A. Bhaskara)가 제시한 그림에서 피타고라스
정리가 왜 성립하는지 알아보는 활동을 하게 한 적이
있어요. 수학사를 소재로 학생들이 피타고라스 정리를
탐구할 수 있었죠.
박 교사 : 수학사를 수업에 활용하는 또 다른 방법이 있을까요?
최 교사 : 교육과정 내용을 재구성할 때도 수학사를 참고할 수
있어요. ㉡ 수학을 발생된 것으로 파악하고 학습자가
학습 과정에서 수학의 발생을 경험하게 하는 원리에
따라서요. 퇴플리츠(O. Toeplitz)의 미분적분학에서
이 원리를 반영하고 있죠.
김 교사 : ㉢ 퇴플리츠와 방식은 다르지만 프로이덴탈(H.
Freudenthal)도 수학사를 교육적으로 활용해야 한다고
했어요.
박 교사 : 선생님들과 이야기하다 보니 수학사를 수업에 활용하는
방법을 더 연구해야겠다는 생각이 드네요.
방정식의 일반해를 나타낼 수 있게 되었다는 점에서 밑줄 친
㉠의 확대된 문자의 사용 범위를 구체적으로 쓰시오.
또한, 밑줄 친 ㉡이 뜻하는 용어가 무엇인지 쓰고, 밑줄 친 ㉢에서
‘수학사를 교육적으로 활용’한다는 것의 의미를 설명하시오. [4점]
7. 인 실수 에 대하여
∞
,
∞
일 때,
lim
→∞
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.
또한, 무한급수
∞
의 값을 쓰시오. [4점]
※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.
인 실수 에 대하여
∞
이다.
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8. 꼭짓점의 집합이 이고 변(edge)의 집합이
인 단순그래프(simple graph) 에 대하여,
4차 정사각행렬 를
(와 가 근접(incidence)한 경우)
( )
(그 외의 경우)
로 정의하자. 가 꼭짓점 의 차수(degree)이고 의 인접행렬
(adjacency matrix) 에 대하여
,
일 때, 의 행렬식(determinant)의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.
또한, 꼭짓점 에서 꼭짓점 로 가는 길이가 인 길(경로,
walk)의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
9. 단위속력곡선(unit speed curve) →
에 대하여 점 에서의
곡률(curvature)과 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion)을 각각 ,
라 할 때, ≠ ( ∊ )이고 함수 → 는
,
, ′
를 만족한다. 점 에서 곡선 의 단위접벡터장(unit tangent
vector field) 와 단위종법벡터장(unit binormal vector field)
에 대하여 곡선 →
을
로 정의하고, 이 곡선 위의 점 에서의 곡률을 라 하자.
이 때, 곡선 가 정칙곡선(정규곡선, regular curve)임을 보이고,
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
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10. 복소평면에서 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원을
시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선적분
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.)
[4점]
11. 3차 정사각행렬
가
,
,
을 만족할 때, 의 고윳값(eigenvalue)을 모두 쓰시오.
또한, 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
<수고하셨습니다.>
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12.
는 유리수체 위에서
다항식
의 분해체(splitting field)이다.
갈루아군(Galois group) 의 위수(order)를 쓰시오.
또한, 다음 <조건>을 모두 만족하는 의 부분군(subgroup)
과 가 존재함을 보이시오. (단,
이다.) [4점]
<조 건>
(가)
과 는 의 정규 부분군(normal subgroup)이다.
(나)
의 위수는 이고 의 위수는 이다.
(다)
이다.
