수 학 [전공 B] (7면 중
2 면)
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
1. 다음은 라카토스(I. Lakatos)의 오류주의 수리철학에 대한 두
교사의 대화의 일부이다. 괄호 안의 ㉠, ㉡에 해당하는 용어를
순서대로 쓰시오. [2점]
최 교사 : 라카토스는 수학의 중요한 개념들이 보조정리합체법
을 사용하면서 나온 경우가 있다고 하였습니다.
이 교사 : 그렇습니다. 라카토스는 그러한 개념을 ( ㉠ ) 개념
이라 불렀는데요. 어떤 추측에 대한 반례가 나왔을 때,
증명을 분석하는 활동을 통해 감추어진 보조정리를
드러내어 원래의 추측에 합체하는 과정 속에서 나오는
개념이라 그렇게 명명한 것으로 알고 있습니다.
최 교사 : 수학의 역사에서 볼 때, 평등수렴(균등수렴, uniform
convergence) 개념이 그러한 ( ㉠ ) 개념의 대표적
사례라 할 수 있을 것 같습니다. “각 항이 연속함수인
함수항 급수가 수렴하면 그 극한함수도 연속이다.”
라는 추측에 대한 반례가 나왔을 때, 증명을 분석
하는 활동을 통해 평등수렴 개념을 도출한 것이지요.
이 교사 : 이러한 수학 지식의 발달 과정을 토대로 하여, 라카
토스는 증명에 독특한 성격을 부여했습니다. 그는
증명에 대해 ‘비판을 용이하게 하는 일종의 사고실험’
이라 하였는데, 이것은 수학과 과학 사이의 유사성을
드러내기 위한 것이라 할 수 있습니다.
최 교사 : 맞습니다. 라카토스 본인도 두 학문이 발달하는 과정
사이의 유사성에 대해 강조한 적이 있습니다. 과학적
지식이 생성되는 과정과 유사한 방식으로, 수학적
지식은 추측－증명－반례의 등장－증명분석－추측의
개선과 새로운 개념의 출현이 끊임없이 반복되면서
발전하기에, 라카토스는 수학을 ( ㉡ ) 과학이라 부른
적이 있습니다.
이 교사 : 그러고 보니, 라카토스의 오류주의 수리철학을 흔히
( ㉡ )주의 수리철학이라 부르는 것도 일리가 있네요.
2. 좌표평면
에서 거리함수 × →를 다음과 같이 정의
하자.
∥∥ ∥∥ ∥∥≠∥∥
∥ ∥
∥∥ ∥∥
거리공간
에서 열린집합(open set)
∈ ,
∈
을 좌표평면에 그림으로 순서대로 나타내시오.
(단, ∥ ∥
이다.) [2점]
집합
집합
2023학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
3 교시 전공 B
11문항 40점
시험 시간 90분
수 학 [전공 B] (7면 중
3 면)
3. (가)는 김 교사가 탐구형 소프트웨어를 활용하여 원주각의
성질을 지도하는 수업의 일부이다. (나)는 피아제(J. Piaget)와 딘즈
(Z. Dienes)의 이론에 대한 오 교사와 김 교사의 대화의 일부
이다.
(가)
김 교사 : 점 P 를 원 O 위에서 움직이면서 원주각 ∠APB 의
크기가 어떻게 변하는지 관찰해 봅시다. 여러분,
점 P 를 원 O 위의 호 AB 를 제외한 부분에서 움직이면
∠APB 의 크기가 어떻게 변화하나요?
학 생 1 : 점 P 를 움직여도 ∠APB 의 크기가 로 변하지
않았어요.
김 교사 : 잘 관찰했습니다. 이번에는 원 O에서 점 B를 움직여
호 AB 의 길이를 바꾼 후 점 P 를 움직여 보세요. 원주
각의 크기가 어떻게 변화하나요?
학 생 2 : 점 P 를 움직였는데, 호 AB 에 대한 원주각이 여러 개
생기지만 그 크기는 항상 같았어요.
김 교사 : 이제 원주각의 크기와 중심각의 크기 사이의 관계를
관찰해 봅시다. 이때도 점 P 를 원 O 위의 호 AB 를
제외한 부분에서 움직이면서 중심각 ∠AOB 의 크기와
원주각 ∠APB 의 크기의 측정값을 비교해 보세요.
무엇을 발견했나요?
학 생 1 : 원주각 ∠APB 의 크기가 중심각 ∠AOB 의 크기의
인 것 같아요.
김 교사 : 네, 그렇네요. 한 호에서 여러 개의 원주각을 만들 수
있어요. 점 P 를 원 O 위의 호 AB 를 제외한 부분에서
더 움직여 보면서 원주각과 중심각의 크기를 좀 더
관찰해 봅시다.
학 생 2 : 점 P 의 위치와 관계 없이 ∠APB 는 호 AB 에 대한
원주각이고 그때 각의 크기가 같으니까, 원주각과
중심각의 크기의 관계는 언제나 똑같아요. 원주각의
크기는 중심각의 크기의
입니다.
김 교사 : 잘 관찰했습니다. 지금까지 탐구형 소프트웨어를 활용
해 관찰한 원주각의 성질을 문장으로 만들어 봅시다.
누가 발표해 볼까요?
학 생 1 : 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다. 그리고
한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의
크기의
입니다.
김 교사 : 잘 만들었어요. 이제, 이러한 성질을 자세하게 분석해
봅시다.
[이후, 원주각 크기와 중심각 크기 사이의 관계를 연역적으로
정당화하는 교수․학습이 이루어진다.]
(나)
오 교사 : 피아제는 반영적 추상화를 내용과 형식의 끊임없는
교대 작용으로 설명합니다. 피아제의 영향을 받은
딘즈도 지식의 성장 과정을 같은 방식으로 설명합
니다. 구체적으로, 딘즈는 지식의 성장 과정을 개폐
연속체 개념으로 설명합니다.
김 교사 : 닫힌 상태는 ‘형식’으로 정리된 상태인데, 그 다음에
열린 상태는 ‘내용’으로 열리게 된 것이지요?
오 교사 : 맞습니다. 이런 의미에서 딘즈는 수학 교수․학습 원리
중 하나로 ㉠ ‘수학적 대상을 먼저 구성하고 그 대상에
대해 분석해야 한다.’ 라는 원리를 제안한 바 있는데,
물론 분석한 결과인 ‘닫힌’ 형식은 그 다음 수준에서는
‘열린’ 상태의 탐구 내용이 됩니다.
딘즈의 수학적 다양성의 원리가 (가)에서 어떻게 적용되고 있는
지를 수업 내용과 관련시켜 구체적으로 서술하시오. 또한 딘즈의
밑줄 친 ㉠의 원리의 명칭을 쓰고, 이 원리가 (가)에서 어떻게
적용되고 있는지를 서술하시오. [4점]
수 학 [전공 B] (7면 중
4 면)
4. (가)는 정 교사와 박 교사가 평행사변형의 지도에 대해 나눈
대화의 일부이고, (나)는 박 교사가 중학교에서 평행사변형의
성질을 지도하는 수업의 일부이다.
(가)
정 교사 : 완성된 수학의 논리적인 전개 순서를 반영하여 평행
사변형의 성질을 지도하는 것이 수월하다고 생각해요.
평행사변형의 정의를 먼저 제시한 후 그 성질들 각각을
정당화하도록 하는 방식이 논리적이지 않나요?
박 교사 : 저는 다른 방식으로 지도합니다. 학생들에게 평행사
변형의 정의를 처음부터 제시하지 않고,
처럼 생긴
도형을 평행사변형으로 부르도록 안내한 후 평행사
변형의 성질을 먼저 찾아보게 합니다. 그런 다음,
㉠ 학생들이 찾은 평행사변형의 성질들이 서로 어떻게
관련되는지를 탐구하게 합니다.
(나)
박 교사 : 여러분, 평행사변형은 어떤 성질이 있는 도형인지 말해
봅시다.
학 생 1 : 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하고 두 쌍의
대변의 길이가 각각 같고, 두 대각선은 서로를 이등분
해요. 그리고 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같고,
이웃하는 두 내각의 크기의 합은 예요.
박 교사 : 잘 알고 있네요. 그럼 여러분이 찾은 평행사변형의
성질들 사이의 관계를 살펴봅시다. 서로 어떤 관계가
있을까요?
학 생 1 : 평행사변형에서 두 쌍의 대변이 각각 평행하다는
것과 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다는 것은 서로
관계가 없는 것 같은데요. 잘 모르겠어요.
프로이덴탈(H. Freudenthal)의 국소적 조직화 관점에서 (가)의
박 교사가 밑줄 친 ㉠을 통해 평행사변형의 정의를 지도하는
방식을 지칭하는 용어를 쓰고, 그 방식을 설명하시오.
또한 반 힐레(P. van Hiele)의 기하 학습 수준 이론에서 학습
수준을 제1수준∼제5수준으로 구분할 때, (나)에서 학생 1의 기하
학습 수준을 쓰고, 그렇게 판단한 근거를 설명하시오. [4점]
5. 다음은 어떤 교수가 예비교사를 대상으로 분석법을 다루는
수업의 일부이다.
예비교사 : 옛날 사람들이 삼각형의 내접원을 작도하는 방법을
처음에 어떻게 찾았는지 궁금해요.
교
수 : 분석법을 통해 찾은 것으로 알려져 있는데요. 우리도
직접 찾아보도록 하지요. 작도법을 찾는 문제는 일종의
답을 찾는 문제라 할 수 있으니까, 방정식 문제를 해결
할 때처럼 해 봅시다. 먼저, 분석법을 적용해서 방정식
문제를 해결할 때 어떻게 시작했나요?
예비교사 : (
㉠
)
교 수 : 네. 그렇습니다. 삼각형에 내접하는 원의 작도법을
찾는 문제를 해결할 때에도 같은 방식으로 시작해
봅시다. 그럼, 이 작도 문제를 해결할 때 어떻게 시작
하면 될까요?
예비교사 : (
㉡
)
교 수 : 그림을 그릴게요. 원의 중심 O 로부터 삼각형의
각 변 AB BC CA 에 각각 수선의 발 D E F 를 내려
봅시다. 세 수선의 길이는 서로 어떻게 되나요?
예비교사 : 원의 반지름이니까, 서로 같아요.
교
수 : 원의 중심 O 에서 ∆ABC 의 각 꼭짓점으로 선분
OA OB OC 를 그어 볼까요? 그러면, ∆ODB 와
∆OEB 는 서로 어떤 관계인가요?
예비교사 : 서로 합동이 돼요. RHS 합동이니까요.
교
수 : ∆ODA와 ∆OFA는 어떤 관계이고,
∆OFC와 ∆OEC 는 어떤 관계인가요?
예비교사 : 마찬가지로, RHS 합동에 의해 서로 합동이 돼요.
교
수 : 그러면 선분 OA OB OC 에 의해 ∠A , ∠B , ∠C 는
각각 어떻게 되나요?
예비교사 : 이등분이 돼요.
교
수 : 그런데 지금까지 유도된 결과들을 잘 살펴보면,
‘작도법’이 무엇인지 짐작할 수 있어요. 예를 들어,
∠A 와 ∠B 를 이등분하는 두 직선의 교점을 찾고
그 교점으로부터 수선의 발을 내리게 되면, 앞의
것은 원의 중심을 작도하는 것이고 뒤의 것은 원의
반지름을 작도하는 것이라는 생각이 들지 않나요?
예비교사 : 정말 그럴듯한데요. 삼각형의 내접원을 작도하는 법을
어떻게 추측해 냈는지 알 것 같아요.
괄호 안의 ㉠, ㉡에 적합한 내용을 순서대로 쓰시오. 또한 분석
법이 지니는 수학교육적 의미를 1가지 기술하고, 이를 뒷받침
하는 근거를 이 수업에서 찾아 제시하시오. [4점]
수 학 [전공 B] (7면 중
5 면)
6. 가우스 정수환(ring of Gaussian integers) ∈
는 유클리드 노름(Euclidean norm)이
인
유클리드 정역(Euclidean domain)이다. 와 를
포함하는 의 가장 작은 아이디얼(이데알, ideal)을 라 하자.
≠인 ∈ 에 대하여 의 최솟값과 잉여환(상환, factor
ring, quotient ring) 의 표수(characteristic)를 각각 풀이
과정과 함께 쓰시오. (단,
이다.) [4점]
7. 구간
에서 정의된 함수 tan의 역함수를
→
라 하자. lim
→ ∞
의 값을 풀이
과정과 함께 쓰시오. 또한
∞
의 값을 풀이 과정과
함께 쓰시오. [4점]
수 학 [전공 B] (7면 중
6 면)
8. 두 확률변수 와 의 결합확률밀도함수(joint probability
density function) 를
그 외의 경우
라 하고 확률변수 를 라 하자. 의 누적분포함수
(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
또한 를 의 확률밀도함수(probability density function)라
할 때, P
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
9. 차원 유클리드 공간
에서 두 곡면 , 을
∈ ∣ ,
∈ ∣
이라 하고, 곡선 를 과 의 교선이라 하자. 곡면 에 놓인
곡선으로서 의 점
에서의 측지곡률(geodesic
curvature)과 법곡률(normal curvature)을 풀이 과정과 함께
쓰시오. [4점]
<수고하셨습니다.>
수 학 [전공 B] (7면 중
7 면)
10. ≤ ≤ 인 정수 에 대하여 합동식
≡ mod
의 정수해가 존재하지 않도록 하는 모든 의 값을 풀이 과정과
함께 쓰시오. [4점]
11. 복소방정식
이 영역 ∈ 에서 갖는
근의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 원점을 중심으로 하고
반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을
라 할 때, 선적분
의 값을 풀이 과정과
함께 쓰시오.
(단, 다중근의 경우 중복되는 수만큼 근의 개수로 인정한다.) [4점]
※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.
함수 와 가 단순닫힌곡선(simple closed curve) 와
그 내부에서 해석적이라 하자. 곡선 위의 모든 점 에 대하여
부등식 이 성립하면 두 함수 와
는 내부에서 같은 개수의 영점(zero)을 갖는다.
