수 학 [전공 A] (7면 중
2 면)
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
1. 다음은 수학교육론 수업에서 오수벨(D. Ausubel)의 유의미 수용
학습을 다룬 수업 자료의 일부이다. (가)가 설명하는 ‘지식’과
(나)가 설명하는 ‘원리’를 순서대로 쓰시오. [2점]
(가) 유의미 수용학습이 이루어지기 위한 조건 중 하나는
학습자의 인지구조 내에 학습 과제와 관련이 있는 ‘지식’,
즉 유의미한 학습 과제를 받아들일 수 있는 ‘지식’이
있어야 한다는 것이다.
(나) 유의미 수용학습을 촉진하는 교수․학습 전략 중 하나로,
낯선 새로운 아이디어의 학습이 가능하려면 새로운 아이
디어는 반드시 기존의 낯익은 아이디어와 충분하게 식별
되어야 한다는 ‘원리’가 있다. 예를 들어, 학생이 경우의 수
단원에서 조합의 의미를 새롭게 학습할 때, 이전에 배운
순열의 의미와 어떻게 유사하고 차이가 있는지를 충분히
식별하는 기회를 가져야 한다는 것이다.
2. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원을 시계
반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 적분
의 값을 구하시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [2점]
2024학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
2 교시 전공 A
12문항 40점
시험 시간 90분
수 학 [전공 A] (7면 중
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3. 순환군(cyclic group) 의 한 부분군(subgroup) 에 대하여
에서의 의 지수(index) 는 이다. 잉여군(상군,
factor group, quotient group) 의 생성원(generator)의 개수를
구하시오. 또한, 의 한 생성원 와 의 한 부분군 에
대하여 〈
〉일 때, 를 만족시키는
의 부분군 의 개수를 구하시오. [2점]
4. 차원 유클리드 공간
에서 곡선 를
∊ (단, , 는 상수)
라 하자. 곡선 와 -평면의 교점 P에서 곡선 의 접선
(tangent line)이 점
을 지날 때,
의 값과 점 P
에서의 곡률(curvature)을 순서대로 구하시오. [2점]
수 학 [전공 A] (7면 중
4 면)
5. 다음은 강 교수가 예비교사를 대상으로 형식 불역의 원리를
다루는 수업의 일부이다.
강 교 수 : 지금까지 음수 지도를 형식적인 관점에서 접근하는
형식 불역의 원리를 설명했습니다. 그런데 프로이덴탈
(H. Freudenthal)은 이를 ‘기하적․대수적 형식 불역
의 원리’로 확장합니다. 여러분,
오른쪽과 같은 정수의 나눗셈을
어떻게 기하적인 방법으로 접근
할 수 있을까요?
예비교사 A : 잘 모르겠어요.
강 교 수 : 자, 주어진 나눗셈 식에서 나누는 수는 얼마인가요?
예비교사 A : 나누는 수는 입니다.
강 교 수 : 그렇습니다. 그럼 이 연산을 함수로 이해해 봅시다.
나누어지는 수 에 연산 결과 를 대응시킨다고
할 때, 는 얼마인가요?
예비교사 B : ÷ , 즉
입니다.
강 교 수 : 네, 맞습니다. 그런데 음수의 연산을 아직 배우지 않은
학생들이 할 수 있는 나눗셈 식은 어디까지인가요?
예비교사 A : ÷ 입니다.
강 교 수 : 맞아요. 음수가 도입되기 전까지는 이 함수의 의
범위가 ≥ 으로 제한됩니다. 그런데 의 범위를
음수까지 확장하면 다음과 같이 함수
의
그래프가 변화하게 됩니다.
예비교사 B : 결국 일 때 ÷가 어떻게 정해져야 하는지를
알 수 있는 거네요.
강 교 수 : 그렇습니다. 예를 들어, 주어진 그래프에서 좌표가
일 때의 좌표를 구하면 나눗셈 식 ( ㉠ )을/를
유도할 수 있습니다.
예비교사 A : ㉡ 이렇게 음수의 나눗셈을 기하적인 방법으로
해석하다니 정말 창의적인 것 같습니다.
강 교 수 : 맞아요. 일차함수의 그래프를 배운 후에 음수의
연산을 새로운 관점에서 보는 자료로 활용하면
좋을 것 같습니다.
÷
÷
÷
÷
÷
괄호 안의 ㉠에 들어갈 나눗셈 식을 쓰고, ‘기하적․대수적 형식
불역의 원리’의 의미를 위의 수업 장면과 관련지어 기하적 측면과
대수적 측면에서 설명하시오. 또한, 밑줄 친 ㉡에서 가장 두드러지게
나타나는 수학 교과 역량의 명칭을 2022 개정 수학과 교육과정에
제시된 용어로 쓰시오. [4점]
6. 다음은 ‘수학평가론’의 강의 내용을 요약한 공책의 일부이다.
<과제 1> 다음 [문제]에 대한 채점기준표를 만들고, [예시답안]을
채점하시오.
◦ 우리가 만든 채점기준표
채점기준표 A
채점 요소
배점
◦ 백지 혹은 오답 이외 다른 내용이 없음
0
◦ 문제를 이해한 듯하나, 겨우 풀기 시작함
1
◦ 합리적으로 풀었지만, 중요한 실수로 옳은 풀이를 방해함
2
◦ 문제는 해결했지만, 단순한 계산 실수로 답을 구하지 못함
3
◦ 적절한 방법을 사용하여 문제를 해결하고 답을 구함
4
채점기준표 B
채점 영역
채점 요소
배점
문제 이해 ◦ 방정식을 이용하고 있음
1
문제 해결
◦ 방정식
을 제시함
1
◦ 구간 에서 해가 존재할 조건을
제시하고, 모든 의 값을 구함
1
답 구하기 ◦ 모든 의 값의 합을 정확히 구함
1
◦ [예시답안]의 채점 점수
채점기준표 A에 의한 점수는 ( ㉠ )점이고, 채점기준표 B에
의한 점수는 ( ㉡ )점이다.
<과제 2> 채점기준표 A에 의한 채점 방법과 비교하였을 때,
채점기준표 B에 의한 채점 방법이 가지는 장점
가지를 적으시오.
[문제]
두 함수 log, log의 그래프가
구간 에서 만나도록 하는 모든 의 값의 합을
구하시오. (단, ≥ 인 자연수이다.) [4점]
[예시답안]
교점을 라 하면, 방정식 log log이
므로 방정식
은 실근을 가진다. 이차함수의
그래프에 적용하면 직선 를 축으로 하는 포물선이
므로, 에서 실근을 가지려면 ≥ , ,
이다. 따라서 ≥ , , 이므로, 의
값은 , , 이다. 합은 이다.
괄호 안의 ㉠과 ㉡에 들어갈 점수를 순서대로 쓰고, 괄호 안의
㉡에 들어갈 점수를 부여한 이유를 채점기준표 B에 근거하여
설명하시오. 또한, <과제 2>에 대한 답을 적고, 장점의 이유를
채점기준표 B에 의한 채점 방법의 의미에 근거하여 서술하시오.
[4점]
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7. 좌표평면의 영역
≥ ≥ ≤ ≥ ( ≤ ≤ )
과 함수
에 대하여
라 하자.
과 ′
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
8. 모든 성분이 실수인 × 행렬 와 행렬
가
다음 조건을 만족시킨다.
(가) 행렬 는 역행렬을 갖지 않는다.
(나) 행렬 의 특성방정식(고유방정식, characteristic
equation)은 허근 를 가지고
이다.
(다) 행렬 의 최소다항식(minimal polynomial)의 차수는
의 특성다항식(고유다항식, characteristic polynomial)의
차수보다 낮다.
행렬 의 모든 고윳값(eigenvalue)과 대각합(trace) 및 행렬식
(determinant)을 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 ×
단위행렬이다.) [4점]
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9. 보통 위상(usual topology)이 주어진 차원 좌표공간
에서
∊
이 컴팩트(긴밀, 옹골, compact) 집합임을 보이시오. 또한, 집합
에서 정의된 함수 의 치역을 구하고, 이를
이용하여 집합 가 연결집합(connected set)인지 판별하고 그
이유를 쓰시오. [4점]
10. 수열 이
일 때, 을 만족시키는 을 구하고,
∞
이
수렴하는 실수 의 범위를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.
모든 자연수 에 대하여
≤ ≤
이다.
<수고하셨습니다.>
수 학 [전공 A] (7면 중
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11. 연속확률변수 의 누적분포함수(cumulative distribution
function) 가 연속인 순증가함수(strictly increasing function)라
하자. 확률변수 의 확률밀도함수(probability density function)
를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한, P ln 의 값을
풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
12. 체(field) 를 유리수체 위에서
의 분해체(splitting
field)라 하자. 의 위에서의 차수(degree) 의 값을 풀이
과정과 함께 쓰시오. 또한, 가 의 양의 약수
이고 ≤ ≤ 를 만족시키는 체 의 개수를 풀이 과정과 함께
쓰시오. [4점]
