수 학 [전공 B] (7면 중
2 면)
◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.
◦ 모든 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.
1. 다음은 2022 개정 중학교 수학과 교육과정의 변화에 대한 두
교사의 대화이다. 괄호 안의 ㉠, ㉡에 해당하는 용어를 순서대로
쓰시오. [2점]
정 교사 : 2022 개정 중학교 수학과 교육과정에서 영역 명칭의
변화가 있네요.
송 교사 : 맞아요. 초등학교와 중학교의 연계성을 강화하기 위해서
초등학교와 통일하여 제시한 것으로 알고 있습니다.
정 교사 : 네. 2015 개정 중학교 수학과 교육과정의 ‘문자와 식’
영역과 ‘함수’ 영역을 통합하여 ( ㉠ ) 영역으로
제시한 거군요.
송 교사 : 그렇습니다. ‘확률과 통계’ 영역도 ‘자료와 가능성’ 영역
으로 명칭이 바뀌었어요.
정 교사 : 그럼 자료와 가능성 영역의 ‘내용 체계(표)의 지식․이해
범주의 내용 요소’ 중에서, 2015 개정 중학교 수학과
교육과정의 확률과 통계 영역의 ‘내용 체계(표)의 내용
요소’와 비교해서 변화된 내용이 있을까요?
송 교사 : 네. 다음은 자료와 가능성 영역의 내용 체계(표)의
일부인데요. ‘상자그림’이 새롭게 추가된 것을 확인할
수 있습니다.
구분
범주
내용 요소
중학교
1~3학년
지식․이해
∙( ㉡ )
∙도수분포표와
상대도수
∙경우의 수와
확률
∙산포도
∙상자그림과
산점도
정 교사 : 그렇군요. 내용 요소에 제시된 ( ㉡ ), 도수분포표,
상대도수, 확률, 산포도, 상자그림, 산점도는 자료와
가능성 영역의 ‘성취기준 적용 시 고려 사항’에 자료와
가능성 영역에서 다루는 용어로 제시되어 있습니다.
2. 포아송분포(Poisson distribution) 로부터의 확률표본
(random sample) , , ⋯, 에 대하여
를
라 하자. E
일 때,
의 값을 구하시오. [2점]
※ 다음은 필요하면 사용할 수 있다.
확률변수 가 를 따르면
P
⋯ 이다.
2024학년도 중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험
수 학
수험 번호 : (
)
성 명 : (
)
제1차 시험
3 교시 전공 B
11문항 40점
시험 시간 90분
수 학 [전공 B] (7면 중
3 면)
3. 다음 (가)는 ‘함수의 연속’에 대한 박 교사의 수업의 일부이고,
(나)는 박 교사가 수업 후에 최 교사와 나눈 대화이다.
(가)
박 교사 : 지금부터 함수의 연속에 대해서 배워볼게요. 여러분,
평소에 연속이라는 말을 들어보았나요?
학 생 A : 네, 3년 연속 우승이라고 할 때 연속이요.
학 생 B : 선생님, 연속 촬영도 있어요.
박 교사 : 좋아요. 여러분이 말한 것은 실생활에서 사용되는
연속이네요. 그럼 이제는 수학과 관련해서 연속이라는
말을 어떤 의미로 사용하였는지 말해볼까요?
학 생 A : 보통 선이나 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있을 때를
연속이라고 한 것 같아요.
박 교사 : 그렇군요. 여러분 모두 그동안 연속이라는 말을 실생활
이나 수학에서 사용해 온 것 같네요. 그런데 수학에서는
몇 가지 조건으로 ‘함수의 연속’을 정의하고 있습니다.
예를 들어, 함수
≥
이 에서
연속인지 불연속인지를 어떻게 판단할까요?
학 생 B : 그래프를 그려서 그래프가 이어져 있는지 확인해 봐요.
박 교사 : 네, 좋은 생각이긴 하지만, 함수의 그래프는 연속을
시각적으로 확인하는 보조적인 수단에 불과합니다.
함수의 연속은 수학적 정의로 판단해야 하는데요. 함수
가 실수 에 대하여 다음 세 가지 조건을 모두
만족시킬 때, 는 에서 연속이라고 합니다.
… (중략) …
박 교사 : 지금까지 에서 함수 가 연속일 조건을 알아
보고, 이와 관련된 문제를 풀어보았어요. 혹시 질문이
있나요?
학 생 들 : 아니요.
박 교사 : 그렇다면, 에서 함수 가 연속일 조건을 말해
볼까요?
학 생 들 : 함숫값 와 극한값 lim
→
가 존재해야 하구요.
lim
→
이어야 합니다.
박 교사 : 좋아요. 여러분 모두 아주 잘 이해하고 있네요.
(나)
박 교사 : 오늘 수업 시간에 함수
≥
이
에서 연속인지 판단하라고 했더니, 일부 학생들은
연속의 정의보다는 그래프가 이어져 있는지를 확인
하려는 모습을 보였습니다.
최 교사 : 저도 같은 경험을 했어요. 학생들은 연속 개념의 형식적
정의보다는 그래프가 끊이지 않고 연결되어 있다는
( ㉠ )에 영향을 많이 받는 것 같습니다.
박 교사 : 맞아요. 그런데 함수 개념에 대한 이해가 불완전한
학생들도 있어요. 오늘 수업에서 학생 C는 앞의 에
대해서,
≥ 과 은 각각
함수이지만 이를 함께 제시한 는 함수가 아니라고
주장하더군요.
최 교사 : 네, 학자들은 함수 학습과 관련해서 개념 정의와
( ㉠ )의 불일치, 인식론적 장애에서 비롯되는
어려움을 이야기하는데요. ㉡ 학생 C의 어려움은 그중의
하나로, 함수 개념의 역사적 발달 과정에서도 나타난
경향입니다.
박 교사 : 동의합니다.
브루소(G. Brousseau)의 교수학적 상황론의 관점을 바탕으로
(가)의 수업 상황에서 박 교사가 학생들의 개인화와 배경화를
돕고 있다고 볼 수 있는 근거를 기술하고, 학생들의 탈개인화와
탈배경화된 지식을 확인하기 위한 교사의 발문 1가지를 찾아
제시하시오. 또한, 비너(S. Vinner)의 관점에서 (나)의 괄호 안의
㉠에 들어갈 용어를 쓰고, 밑줄 친 ㉡에 해당하는 함수 학습과
관련된 어려움을 서술하시오. [4점]
수 학 [전공 B] (7면 중
4 면)
4. 다음은 중학교 입체도형의 부피에 대한 수업 자료의 일부이다.
(가) 1차시 수업 자료 : 원뿔의 부피
◦ 학생의 사전 지식 : 밑면의 반지름의 길이가 이고 높이가 인
원기둥의 부피는
이다.
◦ <탐구활동 1>
∙밑넓이와 높이가 각각 같은 원기둥과 원뿔
모양의 그릇이 있다. 원뿔 모양의 그릇에 물을
가득 채운 다음, 원기둥 모양의 그릇에 물을
옮겨 붓는다. 원기둥 모양의 그릇에 물이 가득
찰 때까지 반복한다.
∙ 물음 1 밑넓이와 높이가 각각 같은 원기둥과 원뿔의 부피
사이의 관계를 적으시오.
◦ <탐구활동 2>
∙재질이 같고, 밑넓이와 높이가 각각 같은 원기둥과 원뿔
모양의 나무조각이 충분히 주어져 있다.
∙수평인 접시저울의 왼쪽 접시에 원기둥 모양의 나무조각을
몇 개 올려놓은 다음, 오른쪽 접시에는 원뿔 모양의 나무조각을
올려놓아, 저울이 수평이 되도록 한다. 활동을 여러 번 실행
하고 결과를 관찰한다. (단, 접시저울이 수평이 되면, 양쪽
접시 위에 있는 물체의 부피는 서로 같다.)
∙ 물음 2 위 활동의 결과를 도식으로 표현하고, 원기둥의 부피
()와 원뿔의 부피() 사이의 관계를 기호로 표현하시오.
(나) 2차시 수업 자료 : 구의 부피
◦ <탐구활동 3>
∙재질이 같고, 반지름의 길이가 인 구 모양의 나무조각과
밑면의 반지름의 길이가 이고 높이가 인 원뿔 모양의
나무조각이 충분히 주어져 있다.
∙수평인 접시저울의 왼쪽 접시에 구 모양의 나무조각을 몇 개
올려놓은 다음, 오른쪽 접시에는 원뿔 모양의 나무조각을
올려놓아, 저울이 수평이 되도록 한다. 활동을 여러 번 실행
하고 결과를 관찰한다.
∙ 물음 3 위 활동의 결과를 ㉠ 도식으로 표현하고, 원뿔의 부피
()와 구의 부피() 사이의 관계를 ㉡ 기호로 표현하시오.
∙ 물음 4 밑면의 반지름의 길이가 이고 높이가 인 원기둥의
부피 공식, 반지름의 길이가 인 구의 부피 공식을 적으시오.
(나)에 따른 수업에서 구의 부피 공식을 발견하는 과정을 <탐구
활동 2>와 <탐구활동 3>에 근거하여 설명하시오. 또한, (나)의
물음 3
에 밑줄 친 서로 다른 2가지 표현(representation) 방식 ㉠과
㉡의 명칭을 브루너(J. Bruner)의 학습이론에 근거하여 순서대로
쓰고, 물음 3 에서 교사가 기대하는 밑줄 친 ㉠과 ㉡에 대한
학생의 반응을 각각 1가지씩 제시하시오. [4점]
5. 다음은 수학적 모델링과 수학화 과정에 대한 자료이다.
(가) 현실적 문제 상황
[1단계] 작은 소품 상자가 필요해서 문구점에서
한 변의 길이가 cm인 정사각형 모양의 판지
를 구입했다. 네 귀퉁이에서 같은 크기의 정사
각형을 잘라내어, 남은 부분으로 뚜껑이 없는 최대
부피를 가지는 직육면체 모양의 소품 상자를 만드는 현실적 문제
상황을 탐구한다.
(나) 미국수학교사협의회(NCTM)의 수학적 모델링 과정
◦ ‘(가)’를 [1단계]로 하는 ‘수학적 모델링’ 과정의 설명과 예시
[2단계]
설명
(
㉠
)
예시
(
㉡
)
[3단계]
설명
수학적 분석을 실시한다.
예시
직육면체의 밑면은 한 변의 길이가 인 정사각형
이고, 높이가 이므로
이다.
′ 이므로, 에서 의
증가와 감소에 의해서 에서 는 최대가 된다.
[4단계]
설명
현상에 맞도록 재해석하여 결론을 도출한다.
예시
판지의 네 귀퉁이에서 잘라내는 정사
각형의 한 변의 길이를 cm로 하면,
상자의 최대 부피는 cm
이다.
(다) 현실주의적 수학교육 이론의 수학화 과정
◦ ‘(가)’를 [1단계]로 하는 ‘수학화’ 과정의 설명
[2단계] 현실 내의 문제 상황을 형식적인 수학적 처리가 가능
하도록 변환하는 과정이다.
[3단계] 세련된 좀 더 높은 수학적 처리가 가능하도록 하는
과정이다.
[4단계] 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고
일반화하는 과정이다.
‘(가)’가 (나)와 (다)의 [1단계]가 될 수 있는 이유를, ‘수학적 모델링’
과 ‘수학화’의 개념과 함께 서술하시오. 또한, (나)의 괄호 안의
㉠과 ㉡에 들어갈 내용을 제시하시오. [4점]
수 학 [전공 B] (7면 중
5 면)
6. 다항식환(polynomial ring)
의 주 아이디얼(principal ideal)
〈 〉에 대하여 잉여환(상환, factor ring, quotient
ring) 가 홀수인 표수(특성, characteristic)를 갖고 위수
(order)가 이하인 정역(integral domain)이 되도록 하는 정수의
순서쌍 를 풀이 과정과 함께 모두 쓰시오. (단, ≤ 이다.)
[4점]
7. 차원 유클리드 공간
에서 곡면
위의 점
에서의 가우스곡률(Gaussian curvature) 를
구하시오. 또한, 곡면 에서의 가우스 곡률합(가우스 전곡률,
total Gaussian curvature)
를 풀이 과정과 함께 쓰시오.
(단, 는 곡면 의 면적소(area element)이다.) [4점]
수 학 [전공 B] (7면 중
6 면)
8. 수열 이 , ≥ 를 만족시킬 때,
의 생성함수(generating function) 를 구하시오.
또한, 수열
이 에서
∞
을 만족시킬 때,
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
9. 을 홀수인 소수 의 원시근(primitive root)이라 하고
∈ ≤ gcd 이라 하자. 임의의
∈
에 대하여
이 의 원시근임을 보이시오.
또한, ∈에 대하여
≡ mod 또는 ≡ mod 를
만족시키는 순서쌍 의 개수를 의 식으로 나타내고, 이러한
순서쌍의 개수가 가 되도록 하는 모든 소수 의 값을 풀이
과정과 함께 쓰시오. (단, 는 집합 의 원소의 개수이다.) [4점]
<수고하셨습니다.>
수 학 [전공 B] (7면 중
7 면)
10. 자연수 에 대하여 함수
∞ → 이
일 때, 함수열
이 ∞에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴,
uniform convergence)함을 보이시오. 또한, lim
→∞
의 값을
풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]
11. 실숫값을 갖는 두 함수 , 와 복소수
( 는 실수)에 대하여 복소함수 는 정함수
(전해석함수, entire function)이다.
가 정함수임을 보이시오. 또한, ′ , 이고
모든 실수 에 대하여
일 때,
′
의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.
(단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]
