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◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

1. 실수체 위의 3차원공간 에서의 선형사상

의 역함수 을 구하시오. [2점]

2. 2는 27의 원시근이다. 이 때, 합동식

의 해를 구하시오. [2점]

3. 군 의 원소 에 의해 생성된 부분군을 라 하자. 잉여군 의 원소 의 위수를 구하시오.[2점]

4. 유리수체 위의 다항식 의 분해체 에 대하여 가 되는 를 구하시오.[2점]

1. 3차 행렬 의 고윳값을 구하고, 역행렬 을 행렬 에 관한 다항식 형태로 표현하시오. [4점]

2. 합동식 의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 가우스 정수환 는 유클리드노름 이 으로 주어진 유클리드 정역(ED)이고, 의 모든 단원(unit)은 다. 이 때, 다음 물음에 답하시오. [4점]

(1) 잉여환 은 체임을 증명하시오. [2점]

(2) 유클리드 노름이 4인 원소 에 대하여 는 에서

중에 하나와 같음을 보이시오. [2점]

4. 체 위의 다항식 의 분해체를 라 할 때 다음 물음에 답하라. [5점]

(1) 를 위의 기약다항식의 곱으로 인수분해하시

오. [2점]

(2) 임을 보이시오.[3점]

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1. 자연수 에 대하여 함수 이

일 때, 함수열 의 점별극한함수 를 구하시오. [2점]

2. 좌표공간의 영역 를

이라 할 때, 삼중적분 의 값을 구하시오. [2점]

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 적분

의 값을 구하시오.

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다. [4점]

2. 실수 와 두 실계수 다항함수 에 대하여

이고 일 때, 함수 를

로 정의하면, 임을 보이시오. [4점]

3. 구간 에서 정의된 함수 의 역함수를 라 하자. 특이적분 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

4. 실수 에 대하여

라 할 때, 함숫값 을 구하고 두 극한값 , 을 각각 구하시오.

(단, 이다.) [5점]

5. 복소평면에서 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선적분

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

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1. 네 종류의 과자가 각각 개씩 있다. 이 중에서 과자를 개 이하만 포함하도록 과자 개를 택하는 경우의 수를 구하시오. [서술형, 4점]

2. 실수집합 상의 보통위상을 라 하자. 유리수집합 에서 정의된 함수 를 로 정의하고 상의 위상 를 로 정의하자. 위상공간 에서 다음 물음에 답하시오.

(1) 정수집합 의 도집합을 구하시오.[3점]

(2) 점렬 이 수렴한다면 수렴점의 개수는 1 아니면 2임을 보이시오.[3점]

3. 두 베르누이분포 를 각각 독립적으로 따르는 두 모집단 가 있다. 에서 크기 인 표본을 각각 추출하여 표본평균 을 각각 얻었을 때, 모평균 의 평균 에 대한 신뢰구간은 이다. 의 값을 각각 구하시오. (단, 확률변수 가 을 따를 때, 로 계산한다.) [서술형, 4점]

4. 두 연속확률변수 는 서로 독립이고 각각 구간 에서 균등분포(uniform distribution)를 따른다. 확률변수 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점]

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5. 3차원 유클리드 공간 에 놓인 곡면 위의 점 에서 다음이 성립한다.

곡면 의 점 에서 방향의 법곡률 을 구하시오.

[기입형, 2점]

답

6. 3차원 유클리드 공간 에서 곡선 를 두 곡면

의 교선을 라 하자. 곡면 위에 곡선으로서 의 점에서의 측지곡률을 이라 할 때, 의 값을 구하시오. (2점)

7. 곡선 을 축을 회전축으로 360도 회전시켜 얻은 회전체를 M이라고 하자. M이 최소곡면임을 보이시오.(4점)