◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 2022 개정 수학과 교육과정에 대한 내용이다. 괄호와 밑줄에 그은 곳에 알맞게 쓰시오.[4점]

2. 다음은 무한수열의 수렴에 관한 수업에 앞서 최 교사가 교과서와 교사용지도서를 분석하면서 기록한 내용이다.

① 교과서에서는 직관적이고 자연스러운 사고에 따라 무한수열의 수렴을 정의한다.

② 지난 해에 ①과 같이 정의를 배운 학생 중에는

‘’과 같은 상수수열이 수렴하지 않는다는

오개념을 가진 경우가 있었다.

③바이어슈트라스(Weierstrass)는 엄밀하지만 자연스러운

사고에 역행하는 방식으로 무한수열의 수렴을 정의하였다.

①과 ③에서의 ‘무한수열의 수렴의 정의’를 각각 제시하고, 이를 토대로 최 교사가 ③에서 ‘자연스러운 사고에 역행한다’고 판단하는 근거를 쓰시오. 또한 ②에 제시된 오개념의 원인을 ①과 관련하여 구체적으로 쓰시오.[4점]

3. 다음은 어느 예비교사가 수학 교육론 강의 시간에 분석법을 이용하여 직각의 삼등분선의 작도 문제를 해결한 과정이다.

위 과정에서 수학적 발견술인 분석법이 어떻게 적용되었는지 그 근거와 함께 서술하시오. 그리고 작도 문제 해결 교육에서 분석법을 이용하는 의의를 스켐프(R. Skemp)가 제시한 도구적 이해와 관계적 이해의 관점에서 각각 설명하시오.

[4점]

4. 최 교사는 ‘기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다’는 학습 내용을 지도하려고 한다. 다음은 최 교사가 수업에 사용하기 위해 만든 학습 자료와 그 학습 자료를 활용한 학습 활동과 평가에 대한 계획이다.

딘즈 (Z. P. Dienes)가 제시하는 수학적 다양성의 원리에 대한 관점에서 최 교사의 수업 계획을 평가하시오. 2022 개정 수학과 교육과정의 ‘교수․학습 방법’에서 정보처리 역량 함양을 위해 강조한 사항을 근거로 위 수업과 관련된 사항을 (가)에 쓰시오,[3점]

5. <자료 1>은 절대부등식을 증명하는 수업 과정에서 학생이 새로운 추측을 제기하는 상황이다.

<자료 1>에서 학생이 사용한 추론 유형과 이 추론에 근거하여 보완해야 할 점을 제시하시오. 라카토스의 관점에서 본 증명의 의미와 그 의미를 근거로 하여 교사의 활동 1가지를 제시하시오.[4점]

6. 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다.

<주제: 진동하는 수열>

교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠.

학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다.

학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다.

학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다.

학생 1: 과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다.

학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반복하는 것이 옳을까요?

<중략>

교사: 토론을 통해서 수열 에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라 <중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.[3점]

7. 다음은 이교사가 피타고라스 정리를 지도하기 위한 계획이다.

<1단계> 학습할 주제를 학생들에게 소개한다.

<2단계> 직각 삼각형을 만들고 이 삼각형의 밑변, 높이, 빗변을 한 변으로 갖는 각각의 정사각형 넓이를 구한다.(단, 밑변의 길이와 높이는 양의 정수)

<3단계> 다른 직각삼각형을 몇 개 더 만들어 보고 각각의 삼각형에 <2단계>를 실시하여 결과를 모두 다음과 같이 표에 기록한다.

<4단계> 표를 보고 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 알아본다.

<5단계> 직각삼각형의 밑변의 길이, 높이, 빗변의 길이를 각각 라 하고 그 각각의 변을 한 변으로 갖는 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 식으로 표현한다.

반 힐레(P. M. van Hiele)의 교수․학습 단계의 관점에서 <2단계>부터 <3단계>에 해당되는 단계가 무엇인지 쓰고, 그 단계의 특징을 계획의 내용과 관련지어 쓰시오..[3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 2차 정사각행렬 을 대각화하는 행렬 를 정수 성분으로 구하시오. [2점]

2. 법 의 모든 원시근을 구하시오(모두 지수표현으로 구할 것). [2점]

3. 군 의 원소 의 위수를 구하시오.[2점]

4. 유리수환 상의 다항식환 와 복소수환 에 대하여 함수

은 환준동형사상이다. 이 때 를 의 아이디얼로 나타내시오.[2점]

1. 실수체 ℝ상의 벡터공간 위에서 선형사상 이 로 주어질 때, 의 고유값과 그에 대응하는 고유공간을 구하시오. [4점]

2. 법 29에 대한 원시근은 2이다. 이 때, 합동식 의 모든 해를 형태로 풀이 과정과 함께 구하시오. [4점]

3. 정수환 에서 소수 에 대하여 아이디얼 는 극대아이디얼임을 증명하시오. [4점]

4. 유리수체 위의 다항식 의 한 근을 라 할 때 다음 물음에 답하시오.[5점]

(1) 의 대수적 확대체 를 집합으로 나타내시오. [2점]

(2) 가 실근일 때, 를 고정하는 자기동형군 의 위수를 구하시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 일 때, 좌표평면의 영역

와 함수 에 대하여 라 하자. 의 값을 구하시오. [2점]

2. 수열 이 일 때,

의 값을 구하시오. [2점]

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 부등식 가 성립함을 보이시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 자연수 에 대하여 함수 이

일 때, 함수열 이 에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

3. 구간 에서 정의된 함수 의 역함수를 라 하자. 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

4. 열 이 을 만족시킬 때, 을 구하고, 모든 자연수 에 대하여

임을 보이시오. [5점]

※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

5. 실숫값을 갖는 두 함수 , 와 복소수

에 대하여 복소함수

는 정함수(전해석함수, entire function)이다. 가 정함수임을 보이시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 수열 이 를 만족시킬 때,의 생성함수(generating function) 를 구하시오. 또한, 수열 이 에서 을 만족시킬 때, 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

2. 자연수 집합 과 자연수 에 대하여

이라 하자. 을 기저로

하는 의 위상을 라 하고 라 하자. 함수 를 로 정의하고 의 위상 을 이라 하자. 위상공간 에

대하여 다음 성질이 성립하는지 판별하고 그 이유를 서술하시오.(단, 는 를 넘지 않는 최대 정수이다). [6점]

(1) 는 연결공간이다.[2점]

(2) 에서 수열 은 수렴하지 않는다.[2점]

(3) 은 콤팩트(compact) 공간이다.[2점]

3. 연속확률변수 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 가 연속인 단사함수(일대일함수, injection)라 하자. 확률변수 의 확률밀도함수(probability density function)를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한, 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

4. 포아송분포(Poisson distribution) 로부터의 확률표본(random sample) 에 대하여 를 라 하자. 일 때, 의 값을 구하시오. [서술형, 3점]

※ 다음은 필요하면 사용할 수 있다.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5. 3차원 유클리드 공간 에 놓인 유향곡면 위의 점 에서 다음이 성립한다.

곡면 의 점 에서 주요곡률과 방향의 법곡률 의 절댓값을 구하시오.[기입형,3점]

6. 3차원 유클리드 공간 에서 곡선 를 두 곡면

의 교선을 라 하자. 곡면 위에 곡선으로서 의 점 에서의 곡률과 법곡률이 같음을 보이시오.

(2점)

7. 3차원 유클리드 공간 의 곡면 M이 이변수 함수 의 그래프로 다음을 만족한다.

점 에서의 가우스곡률 를 구하시오.(3점)