해석학 입문 4차 퀴즈 시험지(04.04)

1. 다음 명제에 대하여 참∙거짓을 답하여라.(OX문제)(중하8점, 각2점)

1-1. 이 모두 존재하면, 또는 이 존재한다.( )

1-2. 수열 이 유계, 수열 이 이면 이다.( )

1-3. 의 임의의 근방 에 수열 의 항이 무한이 많이 존재하면 은 수렴한다.( )

1-4. 수열 이 이면, 의 재배열수열 은 이다.( )

(주. 의 재배열수열 은 의 항의 순서를 임의로 바꾼 수열을 말한다.)

2. 다음 수열들은 모두 수렴하는 수열이다. 극한값의 합을 구하여라. (중, 6점)

(1) (2) (3)

3. 다음은 “수렴하는 수열 유계이다”를 증명한 것이다. 빈칸을 채워 증명을 완성하여라. (중 12점, 각 3점)

라고 하고, 이라 하면 ( a )이다. 그리고 삼각부등식에 의하여 ( b ) 이므로 인 모든 자연수 에 대하여 이 성립한다. ( c )이라 놓으면, 모든 자연수 에 대하여 ( d ) 이 되므로 은 유계이다.

4. 수열이 각각 에 수렴할 때, 수열 은 에 수렴함을 보여라. (상, 9점)

(Hint. 두 등식 , 은 증명 없이 이용할 수 있다. )

5. 두 수열 , 이 점화식

을 만족할 때, 다음 물음에 답하여라. (중상, 9점)

5-1. 점화식을 정의하는 행렬이 1보다 작은 두 고윳값 를 가질 때 수열 과 의 수렴성에 관하여 논하여라.(4점)(Hint. 행렬의 대각화를 이용하여라.)

5-2. 점화식을 정의하는 행렬이 이고 일 경우 수열 과 의 수렴성에 관하여 논하여라. (5점)(Hint. 가 무리수임을 이용하여라.)

6. 실수열의 수렴성에 관한 정의를 확장하면 행렬의 수렴성을 정의할 수 있다. 두 행렬 사이의 거리를

으로 정의할 때, 다음 물음에 답하여라. (중상 6점)

6-1. 위에서 정의한 거리함수 를 이용하여 행렬들의 열 이 극한 행렬 로 수렴함의 정의를 논법으로 서술하여라. (3점)

6-2. 행렬들로 이루어진 행렬렬 이 행렬 로 수렴한다. 를 각각 행렬 의 두 고윳값이라 할 때, 수열 는 수렴하며 그 극한값은 행렬 의 고윳값이 됨을 보여라. (3점)

해석학 입문 4차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1	1-1	1-2	1-3	1-4
2
3	(a)
	(b)
	(c)
	(d)
4
5-1
5-2

6번은 뒷면에 풀 것!