다변수해석학 중간고사재시(2011. 04. 28)

1. 다음 물음에 답하여라. (20점)

1.1 차 이하의 다항함수들의 모임 에서 정의된 사상 , 는 선형사상이다. 이를 이용하여 의 부분공간 의 차원이 임을 보여라.

1.2 을 서로 다른 실수라 할 때, 행렬식 의 값은?

2. 다음은 이차곡선 및 이차곡면의 표준형에 관한 문제이다. 물음에 답하여라. (20점)

2.1 이차곡선의 표준형을 구하는 예이다. 를 구하여라.

이차곡선 (*) 의 표준형을 구하여 보자. 먼저 주어진 식 (*)을 행렬로 나타내면 (**) 이다. 행렬 는 대칭행렬이므로 대각화가능하다. 를 대각화하여 보자. 의 고윳값은 이고 각각의 고윳값에 대한 단위 고유벡터는 이다. 행렬 를 라 놓으면, 서로 다른 고윳값에 대한 고유벡터들은 서로 수직이므로 는 직교행렬이고 이다. 이라 두면, 식 (**)은 이다. 따라서 (*)은 타원이다.

2.2 이차곡면 을 행렬을 이용하여 표현하면

이다. 행렬 의 고윳값은 2, 2, 4이고 대응하는 (단위)고유벡터는

이다. 이 곡면은 어떤 곡면인가?

3. 곡률에 관한 다음 물음에 답하여라. (20점)

3.1 양의 곡률을 갖는 2차원 유클리드 공간 에 놓인 두 정칙곡선 , 이 ‘’ 이면 합동이다. 이를 증명하여라. (주. 곡률이 양이라는 조건, 즉 곡률이 모든 점에서 0이 아니어야 한다는 조건은 반드시 필요하다. )

3.2 에 놓인 곡선 이 다음 조건을 만족한다 하자.

조건1) 조건2)

가 평면곡선임을 보여라.

4. 에 놓인 곡선들에 대한 다음 물음에 답하여라.(20점)

4.1 꽈배기선(helix) 의 곡률과 비틀림을 구하여라.

4.2 곡선 의 곡률과 비틀림을 계산하여라.

4.3 위 두 결과를 비교하여 볼 때, 곡선 에 대하여 어떠한 결론을 얻을 수 있는가?

5. 에 놓인 두 곡면 과 에 관하여 다음을 구하여라. (20점)

5.1 두 곡면의 교점 에서 과 가 이루는 각

5.2 위에서 정의된 함수 의 최댓값

6. 곡선 를 곡선 의 재매개화로 다음과 같이 정의한다.

, 는 상수,

의 곡률과 비틀림을 의 곡률과 비틀림으로 표현하여라.