대학수학 1 중간고사 재시2(2011. 05. 11)

1. 다음의 실수열 에 대하여 을 구하여라. (30점)

1.1 (10점)

1.2 , , (10점)

1.3 (10점)

2. 다음 물음에 답하여라. (40점)

2.1 다음 정리의 증명에서 빈칸에 알맞은 것은? (10점)

정리. 함수 은 조건 ‘적당한 상수 에 대하여 ’ 을 만족한다. 이 때, 함수 가 구간 에서 리만적분가능이면, 등식 이 성립한다.

증명. 이다. 한편 가 연속이므로 도 연속이다. 따라서 은 이다. 즉 가 유한한 값으로 존재한다. 따라서 이다. 따라서 이 성립한다.

2.2 부등식 이 성립함을 보여라. (20점)

2.3 2.1의 정리를 이용하여 를 구하여라. (10점)

3. 다음 물음에 답하여라.(60점)

3.1 관계식 이 성립함을 보여라. (20점)

3.2 두 변수 와 가 관계식

을 만족한다. 이 에 비례함을 보이고 비례상수를 구하여라. (20점)

3.3 연속함수 에 대하여 관계식 이 성립함을 보여라. (20점)

4. 함수 , 에 대하여 다음 물음에 답하여라.(30점)

4.1 가 에서 연속임을 보여라.(10점)

4.2 는 모든 점에서 미분가능함을 보여라.(10점)

4.3 의 점 에서의 모든 차수의 미분계수는 0, 즉 임을 보여라.(10점)

5. 함수 , 은 에서 불연속임을 보여라. (주. 이 함수는 에서는 연속이다.) (20점)