다변수해석학 2차 퀴즈(2012. 04. 13)

1. 정칙곡선 에 관한 다음 명제들에서 빈 칸에 적당한 내용은?(각2점)

1-1. 곡선 이 정칙이라 함은 조건 ( )을 만족함을 의미하며, 기하학에서 정칙조건이 중요한 이유는 첫째, 정칙인 곡선은 모든 점에서 ( )을 가지며, 둘째, 정칙인 곡선은 항상 ( )가 가능하다는 것이다.

1-2. 속력이 일정한 곡선의 경우 속도벡터와 가속도 벡터는 모든 점에서 서로 ( )이고 그 역도 성립한다.

1-3. 곡선 의 곡률과 비틀림에 관한 공식은 ( ), ( )이다.

1-4. 주어진 점 에서 곡선의 비틀림 은 점 에서 곡선이 ( )평면으로부터 벗어나는 정도를 말한다.

1-5. 주어진 점 에서 곡선의 곡률 은 점 에서 곡선의 ( )의 역수와 같다.

2.(곡선의 테일러 전개) 단위속력곡선 에 대한 다음 물음에 답하여라.(10점, 5/5)

2-1. 단위속력곡선 의 일 때 테일러 전개식은

로 주어짐을 보여라.

2-2. 각각의 자연수 에 대하여 차 다항곡선

를 의 (점 에서의) 차 근사곡선이라 한다. 의 1차 근사곡선은 점 에서 의 접선이다. 의 2차 근사곡선이

로 주어짐을 보여라.

3. 함수 의 그래프로 주어지는 평면곡선 에 대하여 다음 물음에 답하여라.(10점, 3/3/4)

3-1. 곡선 를 매개변수를 이용한 식 로 표현하여라.

3-2. 의 변곡점에서의 곡선 의 곡률이 이 됨을 보여라.

3-3. 인 경우 곡선 의 곡률의 최댓값을 구하여라.

4. 가 곡률이 이 아닌 정칙곡선이라 할 때, 곡선 을 의 중심곡선(central curve)이라 부른다. 중심곡선에 관한 다음 물음에 답하여라. (15점, 4/5/3/3)

4-1. 원기둥 꽈배기선 , , 의 곡률 와 비틀림 를 구하여라.

4-2. 원기둥 꽈배기선 의 중심곡선이 원기둥 꽈배기선 , 임을 보여라.

4-3. 원기둥 꽈배기선 의 중심곡선 의 중심곡선은 임을 보여라.

4-4. 곡선 의 중심곡선 이 일정한 점을 가리킬 때, 즉 일 때, 곡선 는 원위에 놓여 있음을 보여라.

5. 함수 , 에 대하여 의 곡선 를

로 정의한다. 곡선 에 관한 다음 물음에 답하여라. (10점, 3/3/4)

5-1. 곡선 가 미분가능함을 보여라.

5-2. 곡선 의 곡률은 일 때만 임을 보여라.

5-3. 일 때와 일 때 의 접촉평면을 무엇인가?

6. 곡률과 비틀림에 관한 다음 물음에 답하여라.(15점, 4/7/4)

6-1. 이고 이면 평면곡선임을 보여라.

6-2. 두 곡선 가 조건 를 만족한다. 가 합동임을 보여라.

6-3. 재매개화 에 의한 곡선 의 곡률과 비틀림은 원래 곡선 의 곡률과 비틀림과 같음을 보여라.

다변수해석학 2차 퀴즈(2011. 04. 13) 답안지

학번		점 수	/70
이름

1번 문항
1-1.
1-2.
1-3.
1-4.
1-5
2번 문항
2-1.	2-2.
3번 문항
3-1.
3-2.
3-3.

4번 문항
4-1.
4-2.
4-3.
4-4.
5번 문항
5-1.
5-2.
5-3.

6번 문항

6-1.

6-2.

6-3.