다변수해석학 중간고사재시2(2011. 05. 10)

1. 차 이하의 다항함수들의 모임 과 다항함수 을 생각하자. 다음 물음에 답하여라. (20점)

1.1 임의의 선형사상 에 대하여 를 만족하는 다항함수 이 유일하게 존재함을 보여라.

1.2 의 차원이 임을 보여라.

2. 다음을 구하여라. (60점)

2.1 이차곡선의 의 표준형

2.2 두 직선 과 사이의 각의 여현(cosine)

2.3 의 네 점 , , , 을 꼭지점으로 하는 사면체의 체적

2.4 원형나선(circular helix) 위의 점 에서의

접선의 식

2.5 이변수 함수 의 영역 에서의 최댓값

2.6 이변수 함수 의 점 에서 변화율이 최대가 되는 방향과 그 방향으로의 변화율

3. 에 놓인 곡선들에 대한 다음 물음에 답하여라.(40점)

3.1 양의 곡률을 갖는 2차원 유클리드 공간 에 놓인 두 정칙곡선 , 이 ‘’ 이면 합동이다. 이를 증명하여라. (주. 곡률이 양이라는 조건, 즉 곡률이 모든 점에서 0이 아니어야 한다는 조건은 반드시 필요하다. ) (15점)

3.2 곡선 의 곡률과 비틀림을 계산하여라.(15점)

3.3 곡선 를 곡선 의 재매개화로 다음과 같이 정의한다.

, 는 상수,

의 곡률과 비틀림을 의 곡률과 비틀림으로 표현하여라.(10점)

4. 에 놓인 곡면 에 관하여 다음을 구하여라.(20점)

4.1 직선 과 사이의 거리

4.2 위에서 정의된 함수 의 최댓값

5. 다음을 계산하여라.

5.1 영역 위에서 함수 의 적분

5.2 영역 위에서 함수

의 적분

5.3 곡선 위에서 벡터장 가 행한 일의 양 (단, 곡선 는 시계반대방향으로 생각한다.)