미분기하학 1차 퀴즈(2011.09.07)

1. 다음 물음에 답하여라.

1-1. 점 을 지나고 벡터 , 에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

1-2. 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

2. 빈 칸에 정당한 내용을 제시하여라.

2-1. 열린구간 에서 로의 ( )함수 을 에 놓인 곡선이라 한다.

2-2. 위 정칙곡선 에 대하여 위에 모든 점에서 접선의 방정식이 존재함을 보이는 과정이다.

곡선 를 정칙곡선이라고 하자. 위의 두 점 와 에 대하여 두 점을 지나는 직선의 방정식은 ( 가 )이다. 에서의 접선의 방정식은 이다. 이고 에 대하여 이므로 이다.

3. “곡선 가 안의 정칙곡선이면 는 단위속력곡선으로 재매개화가 가능하다.”의 증명과정이다. 주어진 물음에 답하여라.

의 정의역 의 한 점 를 고정하고 다음과 같은 호의 길이함수 ( 가 )를 생각 하자. 그러면 함수 의 미분 는 의 속력 함수 이다. 가 정칙곡선이므로 정의에 의해 이다. 그러므로 이다. 함수 는 역함수 를 갖는데 에서의 미분 는 에서의 미분 의 역수이다. 그러므로 이다. 이제 를 의 재매개화 ( 나 )라고 하면 는 단위속력을 갖는다. 즉, 이다. 따라서 이다.

3-1. (가), (나) 안에 적당한 내용을 제시하여라.

3-2. 인 점으로부터 곡선을 따르는 호의 길이 매개변수 를 구하여라.

4. 다음 물음에 답하여라.

4-1. 의 그래프를 그리시오.

4-2. 의 교선의 매개변수식을 구하여라.

5. 다음은 틀장에 대한 설명이다. 주어진 물음에 답하여라.

를 에 놓인 단위속력곡선이라고 하자. 에 대하여 ( 가 )는 위에서 정의된 단위접벡터장이라고 한다. 의 길이가 이므로 에서 곡선이 휘는 정도를 ( 나 )으로 측정할 수 있다. 이때 를 곡률벡터장이라 하고 와 는 항상 직교한다. 곡률벡터장 의 길이로 의 휘는 정도를 알 수가 있다. 즉, 에 대하여 를 의 곡률함수라고 한다. 이라고 하자. 위에서 정의된 단위벡터장 ( 다 )은 각 점에서 가 휘는 방향을 보여준다. 이때 를 단위법벡터장이라고 한다. 위에서 정의된 벡터장 ( 라 )을 의 양법벡터장이라고 한다.

5-1. (가), (나), (다), (라) 안에 적당한 내용을 적어라.

5-2. 밑줄 친 내용을 증명하여라.

6. 는 곡률이 이 아닌 단위속력 정칙곡선이다. 물음에 답하여라.

(1) 다음은 프레네 공식이다. 빈칸에 적당한 내용을 넣어라.

( )

( )

( )

(2) , , 의 형태로 쓰여 질 때 를 구하여라.

7. 위에 놓인 정칙곡선들에 대한 다음 물음에 답하여라.

7-1. 의 정칙곡선 에 대하여 다음 관계식이 성립한다. 빈칸에 적당한 내용을 넣어라.

( ), ( )

7-2. 곡선 의 점 에서의 그리고 곡률과 비틀림을 계산하여라.

7-3. 곡선 를 곡선 의 재매개화로 다음과 같이 정의한다.

의 곡률과 비틀림을 의 곡률과 비틀림으로 표현하여라.

미분기하학 1차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1-1
1-2
2-1				2-2 (가)
2-2	(나)			(다)
3-1	(가)			(나)
3-2
4-1
5-1	(가)			(나)
5-1	(다)			(라)
4-2				5-2
6-1
6-2
7-1
7-2
7-3