◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

1. 다음은 라카토스(I. Lakatos)의 경험주의 수리철학에 대한 두 교사의 대화이다.

전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때 대응하는 방식 ㉠과 ㉡을 라카토스가 제시한 용어로 순서대로 쓰시오. [2점]

2. 다음 교사의 의도에 적합한 평가 방법을 쓰고, 주의할 점 1가지를 쓰시오. [2점]

ㄱ. 다른 교과 내용과의 연계성에 따른 수학적 가치의 인식이 가능하고 창의적 사고, 비판적 사고 등과 같은 보다 고차원적 사고 능력을 신장시키고자 한다.

ㄴ. 소그룹 협동학습을 통해 학생들 자신이 속한 집단의 다른 구성원들과 이야기하거나 활동 결과를 학급 전체에 전달함으로써 의사소통 능력을 신장시키고자 한다.

ㄷ. 스스로 문제를 찾고 이를 해결하기 위해 자신의 추론능력이나 알고리즘을 사용하는 능력, 자신의 아이디어를 다른 사람에게 전달하는 능력을 평가하고 싶다.

3. 다음은 중학교 수학에서 교사의 관점에서 수업계획을 제시한 것이다.

위의 수업계획 중에서 ③을 사회적 구성주의 지식관을 반영하여 진행하고자 한다. 이때 학생들이 객관화된 수학적 지식을 얻기까지 거쳐야 하는 활동과정을 쓰고, 그 결과 얻어져야 할 지식을 학습 목표와 관련하여 쓰시오. [4점]

4. 다음은 탐구 활동을 강조한 수학 수업에서 사용할 교구 제작 및 활용을 위한 계획서의 일부이다.

위 교구를 활용한 고등학교 수열 단원 수학 수업에서 학습자가 형성하기를 기대하는 일반화된 식을 쓰고, 그 식을 어떻게 유도하였는지 위 교구와 관련지어 설명하시오. 위에서는 귀납적 확장에 의해 일반화를 하였다. 그 일반화된 결과에 대한 형식적인 증명을 하시오. [5점]

5. 박교사는 고등학교 2학년 학생들의 미적분 수업시간에 평균변화율과 미분계수의 뜻을 지도하고 나서 미분계수의 기하학적 의미를 지도하기 전에 아래의 세가지 그래프를 제시하고 원점 P에서 접선을 그리라는 문제를 제시하였다.

아래의 내용은 위 문제를 해결하는 과정에서 교사와 학생의 대화의 일부분이다.

희수 : 각각 이렇게 그려질 수 있어요. 한 개의 접선 무한히 많은 접선 두 개의 접선 P P 교사 : 위와 같이 그린 이유를 설명해주세요 희수 : 원의 접선을 배울 때 접선은 한 점에서 만나거나 스치고 지나가야 해요. 처음 그래프에서는 한 점 에서 스치고 지나가게 그린 것이고요. 두 번째 그래프에서는 한 점에서 무한히 많이 만날 수 있기 때문에 무한히 많은 접선을 그렸어요. 세 번 째 그래프에서는 한 점에서 스치고 지나가야 되기 때문에 두 개의 접선을 그렸어요. 교사 : 희수는 중학교 때 배운 개념을 이용해서 그랬군요. -하략-

위의 수업에서 희수와 같은 접선 개념을 가지고 있을 때 겪게 되는 인식론적 장애를 브루소의 인식론적 장애 개념을 기반으로 분석하고, 라카토스의 반례에 관점에서 희수를 지도할 수 있는 방안을 쓰시오. [4점]

6. 학교수학에서는 지수법칙을 지수가 자연수인 경우에서 출발해서 정수인 경우, 유리수인 경우, 실수인 경우까지 확장한다. 다음 제시 내용을 오수벨의 유의미한 설명식 학습으로 지도하고자 한다. ‘통합적 조정의 원리’에 대해 쓰고, 이를 적용하여 아래 지도 내용을 설명하는 과정을 쓰시오. [4점]

지수의 확장(유리수인 지수)

이고 은 정수, 은 2 이상의 정수일 때,

특히,

7. 다음은 중학교 3학년 통계 단원에 나오는 내용이다.

위 내용으로 대푯값을 지도하고자 할 때, 2015 개정 교육과정에 따른 확률과 통계 영역의 <교수·학습 유의사항> 중 어느 요소를 반영하고 있는지 쓰고, 이 유의사항을 반영하여 대푯값을 지도할 때 각 문제에 대한 바람직한 지도내용을 쓰시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

1. 선형사상 의 역함수

를 구하시오. [2점]

2. 의 일의 자리를

구하시오. [2점]

3. 군 의 표현이 일 때

이다.

이때, 원소 의 위수를 구하시오. [2점]

4. 환 의 모든 영인자와 단원을 구하시오. [2점]

1. 2차 행렬 를 대각화하는 행렬 를 구하시오. [4점]

2. 연립합동식 의 해를 구하시오. [4점]

(34) 체 위의 다항식 의 분해체를 라 할 때 다음 물음에 서술하시오.

3. 위에서 차원 와 의 위수를 구하시오. [4점]

4. 인 에 대하여 의 곱셈역원 을 구하시오. [5점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

1. 다음 물음에 답하시오. [3점]

(1) 0이 아닌 두 실수 에 대하여 원기둥 꽈배기선 의 곡률과 비틀림은? [1.5점]

답

(2) 3차원 유클리드 공간 에 놓인 곡선 의 곡률은 항등적으로 1이고 비틀림은 항등적으로 2이다. 곡선 에 대한 단위속력 매개변수식을 제시하시오. [1.5점]

답

2. 실수 에 대해 이라 하자. 그리고 집합 을 기저로 하는 상의 위상을 라 하자. 이 때 위상공간 에서 집합 의 도집합을 구하시오. [3점]

(1) 가 확률밀도함수가 되도록 하는 의 범위를 구하시오.

(2) 를 확률밀도함수로 갖는 연속확률변수를 라 할 때, 평균 와 분산 를 구하시오.

2. 연속확률변수 가 구간 에서 균등분포(uniform distribution)를 따른다. 평균 , 분산 , 적률생성함수 를 구하시오. [4점]

3. 다음 점화수열 의 생성함수 를 구하고, 생성함수의 전개식을 이용하여 을 구하시오. [4점]

4. 에 놓인 곡면 위의 점 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [3점]

(1) 점 에서의 두 주요벡터를 구하시오. [1.5점]

(2) 점 에서 에 접하는 단위벡터 에 대하여 방향 법곡률 을 구하시오. [1.5점]

5. 의 보통위상 와 함수 , 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [6점]

(1) 함수 가 연속이 되는 상의 위상 중 가장 약한 위상 의 기저를 제시하시오. [3점]

(2) 위상공간 에서 점열 의 수렴성을 판정하고, 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오. [3점]

(3) 위상공간 의 구간 의 도집합을 구하시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

1. 좌표평면에서 곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분을 라 하고 영역 의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 라 하자. 영역 의 넓이와 선적분 의 값을 각각 구하시오. [2점]

2. 정의역이 인 함수

의 에서의 2차 테일러 다항식을 구하시오. [2점]

1. 좌표평면의 영역

에서 함수

의 최댓값을 풀이과정과 함께 쓰시오. [4점]

2. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 에 대하여

가 무한집합이라 하자. 을 만족시키는 실수 가 존재함을 증명하시오. [4점]

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

3. 자연수 에 대하여 함수 을

로 정의하자. 함수열 이 에서 어떤 함수로 균등수렴(고른수렴, 평등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

4. 함수 가 일 때, 극한값 를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

또한 자연수 에 대하여 함수 가

일 때, 에서 함수열 이 로 균등수렴하지 않음을 보이시오. [4점]

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

5. 복소평면의 열린 집합 에서 해석적인 함수 에 대하여, 이고 이면

임을 증명하시오. [5점]