다변수해석학 기말고사(2011. 06. 17)

1. 함수 , 와 두 점 과 을 연결하는 선분 에 대하여 다음을 계산하여라. (40점)

1.1 1차 형식 (10점)

1.2 의 매개변수방정식 (10점)

1.3 선적분 의 절댓값 (20점)

2. 다음을 계산하여라. (30점)

2.1 영역 위에서 함수 의 적분 (10점)

2.2 영역 의 체적(10점)

2.3 곡선 위에서 선적분 (10점)

(단, 곡선 는 시계반대방향으로 생각한다.)

3. 다음을 증명하여라. (40점)

3.1 를 위의 두 점 를 연결하는 곡선이라 하고 함수 의 그래디언트 벡터장 에 대하여 관계식

이 성립함을 보여라. (20점)

3.2 다음 정리가 성립함을 보여라. (20점)

정리. 단순연결영역(simply connected domain) 위에서 정의된 벡터장 을 생각하자. 가 관계식 을 만족한다면 벡터장 는 위치함수(potential function)를 갖는다. 즉, 을 만족하는 함수 가 존재한다.

4. 의 영역 는 네 평면 , , , 로 둘러싸인 사면체이다. 벡터장 에 대하여 다음을 구하여라. (20점)

4.1 (10점)

4.2 (10점)

5. 에서 정의된 1형식 에 대하여 다음 물음에 답하여라. (30점)

5.1 임을 보여라. (10점)

5.2 를 만족하는 함수 를 구하여라. (10점)

5.3 곡면 위에서의 면적분 을 구하여라. (10점)

6. 다음을 계산하여라. (30점)

6.1 영역 위에서 함수 의 적분 (10점)

6.2 영역 의 체적(10점)

6.3 곡선 위에서 선적분 (10점)

(단, 곡선 는 시계반대방향으로 생각한다.)