기하학 개론 퀴즈(‘12. 03. 14)

학번 : 성명:

물음I. 다음은 점과 직선과의 결합관계를 규정하고 있는 공리계이다.

결합공리I. 서로 다른 두 점 P, Q에 대하여 P, Q와 결합되어 있는 직선이 존재하며, 유일하다. 결합공리II. 직선에 대하여 그 직선과 결합되어 있는 점이 적어도 두 개 존재한다. 결합공리III. 어떤 직선도 동시에 결합되어 있지 않은 서로 다른 세 점이 존재한다.

점과 직선이 이 공리계를 만족할 때, 다음 명제들이 성립함을 증명하여라.

(단, 점, 직선, 결합 등은 무정의용어이다.) (각 10점)

1. 평행이 아닌 서로 다른 두 직선은 오직 한 점에서 만난다.(주. “두 직선이 서로 평행이다.”를 “두 직선에 동시에 결합되어 있는 점이 존재하지 않는다.”고 정의한다.)

증명)

2. 임의의 직선에 대하여 그 직선과 결합되어 있지 않은 점이 적어도 하나 존재한다.

증명)

3. 임의의 점에 대하여 그 점과 결합되어 있지 않는 직선이 적어도 하나 존재한다.

증명)

4. 임의의 점에 대하여 그 점과 결합되어 있는 직선이 적어도 두 개 존재한다.

증명)

5. 한 점에서 만나지 않는 서로 다른 세 직선이 존재한다.

증명)

물음II. 다음 결합공리계에서 공리III은 공리I, 공리II와 독립적임을 보여라. 즉, 공리I, II로 부터 공리III이 유도될 수 없음을 설명하여라.(보너스 20)

결합공리I. 서로 다른 두 점 P, Q에 대하여 P, Q와 결합되어 있는 직선이 존재하며, 유일하다. 결합공리II. 직선에 대하여 그 직선과 결합되어 있는 점이 적어도 두 개 존재한다. 결합공리III. 어떤 직선도 동시에 결합되어 있지 않은 서로 다른 세 점이 존재한다.