◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 19세기말부터 100여 년 동안 이루어진 수학교육의 변천에 관한 자료를 순서 없이 제시한 것이다.

(가)∼(마)를 수학교육의 역사적 흐름에 따라 순서대로 배열하시오. [2점]

2. 다음은 중학교 수학 <확률과 통계> 영역의 학습 활동지이다. 2022 개정 수학과 교육과정의 ‘성취기준 시 적용시 고려사항’을 어떻게 반영하고 있는지 기술하시오.

[2점]

3. 다음 <자료 1>은 중학교 3학년 학생 A의 수학일기의 일부이고,

<자료 2>는 <자료 1>에 대하여 교사들이 나눈 대화이다.

비고츠키(L. Vygotsky) 학파의 관점에서 <자료 1>의 ㉠을 설명할 수 있는 개념 용어를 쓰고, A가 알게 된 최빈값의 의미를 쓰시오. 그리고 <자료 1>의 ㉡, <자료 2>의 ㉢에 근거하여 사회적 구성주의와 차별화되는 급진적 구성주의의 원리를 설명하시오. [4점]

4. 다음 수업 상황을 보고 물음에 답하시오.

위의 수업 상황에서 밑줄친 부분에 대해 분석법을 적용하는 과정을 제시하고, 증명에서 분석법과 종합법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의를 1가지 쓰시오[4점]

5. 박교사는 고등학교 2학년 학생들의 미적분 수업시간에 평균변화율과 미분계수의 뜻을 지도하고 나서 미분계수의 기하학적 의미를 지도하기 전에 아래의 세가지 그래프를 제시하고 원점 P에서 접선을 그리라는 문제를 제시하였다.

아래의 내용은 위 문제를 해결하는 과정에서 교사와 학생의 대화의 일부분이다.

희수와 같은 접선 개념을 가지고 있을 때 겪게 되는 인식론적 장애를 브루소의 인식론적 장애 개념을 기반으로 분석하시오. 또한 라카토스의 증명관에 대해 서술하고 라카토스의 반례에 관점에서 희수를 지도할 수 있는 방안을 쓰시오.

[4점]

6. 다음은 강 교수가 예비교사를 대상으로 형식 불역의 원리를 다루는 수업의 일부이다.

강 교수:지금까지 음수 지도를 형식적인 관점에서 접근하는 형식 불역의 원리를 설명했습니다. 그런데 프로이덴탈(H.Freudenthal)은 이를 ‘기하적․대수적 형식 불역의 원리’로 확장합니다. 여러분, 오른쪽과 같은 정수의 나눗셈을 어떻게 기하적인 방법으로 접근할 수 있을까요? 예비교사A: 잘 모르겠어요. 강 교수: 자,주어진 나눗셈 식에서 나누는 수는 얼마인가요? 예비교사A: 나누는 수는 2입니다. 강 교수: 그렇습니다. 그럼 이 연산을 함수로 이해해 봅시다. 나누어지는 수 에 연산 결과 를 대응시킨다고 할 때, 는 얼마인가요? 예비교사B: 즉 입니다. 강 교수: 네, 맞습니다. 그런데 음수의 연산을 아직 배우지 않은 학생들이 할 수 있는 나눗셈 식은 어디까지인가요? 예비교사A: 입니다. 강 교수: 맞아요.음수가 도입되기 전까지는 이 함수의 의 범위가 으로 제한됩니다. 그런데 의 범위를 음수까지 확장하면 다음과 같이 함수 의 그래프가 변화하게 됩니다. 예비교사 B : 결국 일 때 가 어떻게 정해져야 하는지를 알 수 있는 거네요. 강 교수 : 그렇습니다. 예를 들어, 주어진 그래프에서 좌표가 -4일 때의 좌표를 구하면 나눗셈 식 ( ㉠ )을/를 유도할 수 있습니다. 예비교사 A : ㉡ 이렇게 음수의 나눗셈을 기하적인 방법으로 해석하다니 정말 창의적인 것 같습니다. 강 교수 : 맞아요. 일차함수의 그래프를 배운 후에 음수의 연산을 새로운 관점에서 보는 자료로 활용하면 좋을 것 같습니다.

괄호 안의 ㉠에 들어갈 나눗셈 식을 쓰고, ‘기하적․대수적

형식불역의 원리’의 의미를 위의 수업 장면과 관련지어

기하적 측면과 대수적 측면에서 설명하시오. 또한, 밑줄 친

㉡에서 가장 두드러지게 나타나는 수학 교과 역량의 명칭을

2022 개정 수학과 교육과정에 제시된 용어로 쓰시오. [4점]

7. 다음에 제시된 수업 상황을 읽고 물음에 답하시오.

폴리아(G . Polya)의 수학 문제해결 교육론의 관점에서, 교사가 다은이에게 한 발문이 바람직한 것인지 아닌지를 판단하고, 판단의 구체적인 이유를 교사의 발문과 관련하여 1가지 쓰시오. 그리고 교수학적 변환(didactic tran sposition )의 관점에서 위에 제시된 수업 상황에 대해 설명하시오[3점].

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 실수체 ℝ상의 벡터공간 위에서 선형사상 을 로 정의할 때 의 고윳값과 대응하는 고유벡터를 구하시오. [2점]

2. 합동방정식 의 해의 개수를 구하시오. [2점]

3. 잉여군 의 원소 의 위수를 구하시오.[2점]

4. 잉여군 와 동형인 군을 구하시오.[2점]

1. 실수체 ℝ상의 표준내적공간 에서 두 벡터 와 로 생성되는 부분공간을 라 하자. 벡터 와 사이의 최단거리를 구하시오. [4점]

2. 합동방정식 의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 환 와 의 아이디얼 에 대해 잉여환 의 위수를 구하시오. [4점]

4. 유리수체 위의 다항식 에 대해 다음 물음에 답하시오.[5점]

(1) 의 분해체 를 구하시오.[2점]

(2) 갈로아군 와 동형인 군을 구하시오.[3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 일 때, 좌표평면의 영역

와 함수 에 대하여 라 하자. 의 값을 구하시오. [2점]

2. 수열 이 일 때,

의 값을 구하시오. [2점]

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 부등식 가 성립함을 보이시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 자연수 에 대하여 함수 이

일 때, 함수열 이 에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

3. 구간 에서 정의된 함수 의 역함수를 라 하자.

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

4. 수열 이 을 만족시킬 때, 을 구하고, 모든 자연수 에 대하여

임을 보이시오. [5점]

※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

5. 실숫값을 갖는 두 함수 , 와 복소수 에 대하여 복소함수 는 정함수(전해석함수, entire function)일 때, 도 정함수임을 보이시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음 조건 ①, ②에 의해 정의된 그래프 의 변(edge)의 개수를 구하고, 는 평면그래프(planar graph)가 아님을 보이시오. 그리고 그래프 의 채색수(chromatic number) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

2. 실수 집합 상에서 집합 을 기저로 하는 위상을 라 하고 라 하자. 또한 이산위상 와 자명한 위상 에 대해 , 이라 하자. 이 때 집합 에 대해 다음 물음에 답하시오.

(1) 적공간 에서 의 내부와 폐포를 구하시오.[3점]

(2) 적공간 에서 의 내부와 폐포를 구하시오.[3점]

3. 두 확률변수 와 의 결합확률밀도함수(joint probability density function) 를

라 하고 확률변수 를 라 하자. 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

4. 확률변수 의 평균과 분산이 각각 이다.

이 모집단 로부터 뽑힌 확률표본일 때, 이들의 평균 에 대하여 가 이상이 될 확률은 중심극한정리(central limit theorem)를 적용하면 근사적으로 이다. 상수 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [서술형, 3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5. 3차원 유클리드 공간 에서 곡선 를 두 곡면

의 교선을 라 하자. 점 에서 의 곡률반경을 구하시오. (2점)

6. 3차원 유클리드 공간 에 놓인 유향곡면 위의 점 에서 다음이 성립한다.

곡면 의 점 에서 점근방향을 구하시오.(3점)

7. 3차원 유클리드 공간 의 곡면 M은 곡선 을 축을 회전축으로 회전한 회전면이다. 점 에서의 가우스곡률 를 구하시오.(3점)